2. ЛИНИИ НА ЛОСКОСТИ

2.2. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания пря­мой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллель­ная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой (см. рис. 19).

 Под углом  наклона прямой понима­ется наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 19).

Проведем через точку N ось Nx', па­раллельную оси Ох и одинаково с ней направлен­ную. Угол между осью Nx' и прямой равен a. В си­стеме Nx'y точка М имеет координаты х и у - b. Из определения тангенса угла следует равенство  т.е.  Введем обозначение и получаем уравнение 

 (5)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой. Мож­но убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (5) не удовлетворяют.

Число k = tg a называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (5) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следова­тельно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = kx.

Если прямая параллельна оси Ох, то a= 0, следовательно, k = tg a = 0 и уравнение (5) примет вид  у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (5) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент - не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

x = a, (6)

где a - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (5) и (6) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде

Ax + By + C = 0, (7)

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одно­временно.

Покажем, что уравнение (7) есть уравнение прямой линии. Возмож­ны два случая.

Если В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид Ax + С = 0, причем А ¹ 0, т.е.  Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку

Если В ¹ 0, то из уравнения (7) получаем

Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом

Итак, уравнение (7) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение приводится к виду . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0, то прямая параллельна оси Ox;

3) если С = 0, то получаем Ах +Ву=0. Уравнению удовлетворяют координаты точки O (0;0), прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку М(x_о;y_о) и ее направление ха­рактеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде у = kx + Ь, где b — пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку М(х_о;у_о), то координаты точки удовлетво­ряют уравнению прямой: у_о = kx_o + Ь. Отсюда  b = у_о — kx_o. Подставляя значение b  в уравнение у = kx + b, получим искомое уравнение прямой у = kx + у_о — kx_o, т. е.

 (8)

Уравнение (8) с различными значениями k называют также уравне­ниями пучка прямых с центром в точке М(х_о;у_о). Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки M₁(x₁;y₁) и М₂(х₂; у₂). Уравнение прямой, проходящей через точку M₁, имеет вид

 (9)

где k — пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М₂ (x ; y₂), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (9): у₂ — у₁ == k(x₂ - x₁). От­сюда находим . Подставляя найденное значение k  в уравне­ние (9) получим уравнение прямой, проходящей через точки M₁ и M₂ :

 (10)

Предполагается, что в этом уравнении x₁ ¹ x₂, y₁ ¹ y_{2 .}

Если х₂ = х₁, то прямая, проходящая через точки M₁(x₁;y₁) и М₂(x₂;у₂), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х₁.

Если у₂ = y₁ то уравнение прямой может быть записано в виде у = у₁, прямая M₁ М₂ параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ox в точке М₁(a;0), а ось Oy – в точке М₂(0;b) (см. рис. 20). В этом случае уравнение (10) примет вид т.е.

Это уравнение называется уравнением пря­мой в отрезках, так как числа a и b указы­вают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку М_о(х_о;у_о)  перпендикулярно данному ненулевому вектору.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х, у) и рассмотрим вектор

 (см. рис. 21). Поскольку векторы  и  перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:  •  = 0, то есть 

 (11) 

Уравнение (11) называется уравнением прямой, про­ходящей через заданную точку перпендикулярно задан­ному вектору.

Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Уравнение (11) можно переписать в виде

 (12) 

где А и В — координаты нормального вектора,

С = - Ах_о - By_о — сво­бодный член. Уравнение (12) есть общее уравнение прямой (см. (7)).

Полярное уравнение прямой

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно опреде­лить, указав расстояние р от полюса О до данной прямой и угол а между полярной осью ОР и осью l , проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см. рис.22).

Для любой точки М(г; j) на данной прямой имеем:

С другой стороны,

Следовательно,

 (13)

Полученное уравнение (13) и есть уравнение прямой в полярных коор­динатах. 

Нормальное уравнение прямой

Пусть прямая определяется заданием р и a (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

т.е.

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: r cos j = x, r sin j = у. Следовательно, уравнение (13) прямой в прямоугольной системе координат примет вид

 (14)

Уравнение (14) называется нормальным уравнением прямой.

Покажем, как привести уравнение (7) прямой к виду (14).

Умножим все члены уравнения (7) на некоторый множитель . Получим lАх + lВу + lС = 0. Это уравнение долж­но обратиться в уравнение (14). Следо­вательно, должны выполняться равенства:

l А = cos a, l В = sin a, lС = - р. Из пер­вых двух равенств находим l² А² + l² В² = cos² a + sin² a, т. е. . Множитель l называется нормирующим мно­жителем. Согласно третьему равенству

lС = - р знак нормирующего множителя противоположен знаку свобод­ного члена С общего уравнения прямой.

Пример.  Привести уравнение - 3x + 4y +15=0 к нормальному виду.

Решение: Находим нормирующий множитель Умножая данное уравнение на l, получим искомое нормальное уравнение прямой:

Подгонка выделенной области

Брокер Альпари: обмен электронных валют . Заработать на курсе валют. ; турбо