|
| ||
|
|
||
|
| ||
 |  |
Исследование формы эллипса по его уравнению
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.
1.Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (х;-y), (-х; у), (х; -у). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки O(0; 0), которую называют центром эллипса.
2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у = 0, находим
две точки 
и 
, в которых
ось Ох пересекает эллипс (см. рис. 28). Положив в уравнении (11.7) x = 0, находим
точки пересечения эллипса с осью Оу; 
и
. Точки
,
называются вершинами эллипса. Отрезки 
и
, а также их длины 2а и 2Ь называются
соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и b называются 
соответственно большой и малой полуосями эллипса.
3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т. е. имеют место
неравенства 
и 
или 
и 
. Следовательно,
все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±а, у
= ±b.
4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых
и
равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого
другое будет уменьшаться, т. е. если 
возрастает, то 
уменьшается и наоборот.
Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 28 (овальная замкнутая кривая).
Дополнительные сведения об эллипсе.
Форма эллипса зависит от отношения
. При b=a эллипс превращается в окружность, уравнение
эллипса (11.7) принимает вид 
. В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются
отношением 
.
Отношение половины расстояния между фокусами к большой полу оси эллипса
называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой 
(«эпсилон»):
(11.8)
причем 
,
так как 
. С учетом равенства (11.6)
формулу (11.8) можно переписать в виде
т. е.
и 
Отсюда
видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным;
если положить 
, то эллипс превращается в окружность.
Пусть
М(х;у) — произвольная точка эллипса с фокусами
и
(см.рис.29).Длины отрезков
и
называются
фокальными радиусами точки М. Очевидно,
Имеют место формулы
и 
.
Прямые 
называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса выявляется
следующим утверждением.
Теорема 11.1. Если r — расстояние
от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от этой
же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение 
есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:
Из равенства
(11.6) следует, что а > Ь. Если же а < Ь, то уравнение (11.7) определяет
эллипс, большая ось которого 2Ь лежит на оси Оу, а малая ось 2a — на оси Ох (см.
рис. 30). Фокусы такого эллипса находятся в точках 
и
где 
.
| |
Физика лабы
Элементарная
математика Кратные
интегралы Математический
анализ
радиатор Sahara
Векторный анализ
Аналитическая геометрия
Пределы функции
Изучение функции
Конспекты по математике
Комплексные числа Дифференциальные
уравнения
Определенные интегралы
Лекции по высшей математике Исследование
функций
Вычисление объема с
помощью интегралов Алгеброические
структуры