Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

 Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через  и , 

  расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2а < 2с, т. е. а < с.

  Для вывода уравнения гиперболы выберем си-­ стему координат Оху так, чтобы фокусы  и  лежали на оси Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка  (см. рис. 31). Тогда фокусы будут иметь координаты . и .

Пусть М(x;y) — произвольная точка гиперболы. Тогда согласно опре­делению гиперболы   или , т.е. . После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравне­ние гиперболы

 

где

  

Гипербола есть линия второго порядка.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением.

  1. Уравнение (11.9) содержит х и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О(0;0), которую называют центром гиперболы.

 2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у = 0 в уравнении (11.9), находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox:   и . Положив х = 0 в (11.9), получаем , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает. 

  Точки  и  называются вершинами гиперболы, а отрезок  — действительной осью, отрезок -действительной полуосью гиперболы. 

  Отрезок , соединяющий точки  и  называется мнимой осью, число b — мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь называется основным прямоугольником гипер­болы. .

 3. Из уравнения (11.9) следует, что уменьшаемое  не меньше единицы, т. е. что или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой х = —а (левая ветвь гиперболы).

 

 

 

 

 

Рис. 32

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда  возрастает, то и \у\ воз­растает. Это следует из того,что разность  сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 32 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой К, если расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат. На рисунке 33 приведена иллюстрация понятия асимптоты: прямая L является асимптотой для кривой К.

 

Покажем, что гипербола  имеет две асимптоты:

   и  

 Так как прямые (11.11) и гипербола (11.9) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой  точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка  на гиперболе  (см. рис. 34), и найдем разность MN между ордина­тами прямой и ветви гиперболы:

 

 

 Как видно, по мере возрастания X знаменатель дроби увеличивается; чи­слитель — есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка MN стремится к нулю. Так как MN боль­ше расстояния d от точки М до пря­мой, то d и подавно стремится к ну­лю. Итак, прямые  являются асимптотами гиперболы (11.9).

 

 

 При построении гиперболы (11.9) целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы (см. рис. 35), провести прямые, проходя­щие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины  и  гиперболы.

Подгонка выделенной области

Во многих случаях вам может понадобиться подогнать начало и (или) конец выделенной области к определенному значению времени на линейке времени. С помощью мыши это сделать достаточно сложно, но программа Sound Forge располагает возможностями, полезными для разрешения этой ситуации:

• чтобы подогнать обе границы выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap To Time;
•  чтобы подогнать только начало выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, установите указатель текущего положения на начало области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки) и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Time;
•  чтобы подогнать только конец выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, установите указатель текущего положения на конец области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двухсторонней стрелки) и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Time.

Еще важнее бывает иметь возможность подогнать начало и (или) конец выделенной области к нулевому уровню данных на диаграмме сигналов.

Замечание

Помните описание нулевой оси, приведенное в главе 6? Любая точка на диаграмме сигналов, лежащая на нулевой оси, называется нулевым уровнем. По мере того как сигнал перемещается вверх и вниз, он пересекает нулевую ось.

Почему так важно, чтобы ваши выделенные области были выровнены с нулевым уровнем? Потому что нулевой уровень характеризуется отсутствием какого бы то ни было звука, поэтому он очень удобен при редактировании данных, например когда вы вырезаете и вставляете отдельные части файла. Если, редактируя файл, вы не используете нулевой уровень, существует возможность возникновения шумов в виде слышимых щелчков и потрескиваний. Это может случиться по разным причинам — например, если вы вырезаете отрезок данных, начинающийся с точки, содержащей звук, а не тишину. Шумы также могут возникнуть, когда вы сводите два отрезка данных — если эти отрезки не ограничены нулевым уровнем, трудно гарантировать, что они идеально сойдутся.

Чтобы подогнать выделенную область к нулевому уровню, сделайте следующее:

•  чтобы подогнать начало и конец выделенной области к ближайшим нулевым уровням, выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap To Zero;
•  чтобы подогнать только начало выделенной области к ближайшему нулевому уровню, установите указатель текущего положения на начало области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки), и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Zero;
•  чтобы подогнать только конец выделенной области к ближайшему нулевому уровню, установите указатель текущего положения на конец области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки), и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Zero.

Совет

Если вы хотите, чтобы ваши выделенные области автоматически подгонялись к округленному значению времени или к нулевому уровню, выберите пункты Auto Snap To Time или Auto Snap To Zero меню Options.

Мебель на заказ: гардеробные комнаты . Шкафы-купе для гардеробных.