 |  |
Общее уравнение линий второго порядка
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям
Найдем
сначала уравнение эллипса с центром в точке 
, оси симметрии которого параллельны координатным
осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса 
начало новой системы координат 
,
оси которой 
и 
параллельны соответствующим осям Ох
и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис.41).
В этой системе координат уравнение Рис.41.
эллипса имеет вид
Так
как 
, то в старой системе координат
уравнение эллипса запишется в виде
Аналогично
рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке 
и полуосями а и Ь (см. рис. 42):
И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 43, имеют соответствующие уравнения.
Уравнение Ac2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О
Уравнения эллипса, гиперболы,
параболы и уравнение окружности 
после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону,
привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать
с помощью единого уравнения вида
(11.14)
где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка?
Ответ дает следующая теорема.
Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при А • С < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
Пример
11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением 
Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс 
. Действительно, проделаем следующие
преобразования:
Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в 
и полуосями 
и 
.
Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением х2 + 10х - 2у + 11 = 0.
Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,
.
Получилось
каноническое уравнение параболы с вершиной в точке 
и 
.
Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением
.
Решение: Преобразуем уравнение:
Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 
Общее уравнение второго порядка
Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными:
Ax2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F == 0. (11.15)
Оно отличается от уравнения (11.14)
наличием члена с произведением координат
.
Можно, путем поворота координатных осей на угол 
, преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением
координат отсутствовал.
Используя формулы поворота осей
выразим старые координаты через новые:
Выберем
угол так, коэффициент при 
обратился в нуль, т.е. чтобы выполнялось
равенство
т.е.
(11.16)
т.е.
Отсюда
(11.17)
Таким образом, при повороте осей на угол , удовлетворяющий условию (11.17), уравнению
(11.15) сводится к уравнению (11.14).
Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15)определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.
| |