Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса   начало новой системы координат , оси которой  и  параллельны соответ­ствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис.41).

В этой системе координат уравнение Рис.41.

эл­липса имеет вид

Существование предела частного функций  доказывается аналогично, если предварительно установить ограниченность функции  на некоторой окрестности . Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Так как , то в старой системе координат 

уравнение эллипса запишется в виде

Аналогично рассуждая, получим уравне­ние гиперболы с центром в точке   и полуосями а и Ь (см. рис. 42):

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 43, имеют соответству­ющие уравнения.

 

 

 

 

 

   

 

 

 

  

 

Уравнение Ac2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности   после преобразований (раскрыть скобки, пе­ренести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помо­щью единого уравнения вида

  (11.14)

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка?

Ответ дает следующая теорема.

  Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при А • С < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

 

 

Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной урав­нением  

Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:

  Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в  и полуосями  и  .

 

 

  Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением х2 + 10х - 2у + 11 = 0.

 Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действи­тельно,

.

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке   и . 

 

  Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением.

  Решение: Преобразуем уравнение: 

  Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые

Общее уравнение второго порядка

 Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвест­ными:

 Ax2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F == 0. (11.15)

Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат. Можно, путем поворота координатных осей на угол , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

 Используя формулы поворота осей

выразим старые координаты через новые:

Выберем угол  так, коэффициент при  обратился в нуль, т.е. чтобы выполнялось равенство

т.е.

   (11.16)

т.е.

Отсюда

   (11.17)

 

  Таким образом, при повороте осей на угол  , удовлетворяющий условию (11.17), уравнению (11.15) сводится к уравнению (11.14).

 Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15)определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Подгонка выделенной области

Во многих случаях вам может понадобиться подогнать начало и (или) конец выделенной области к определенному значению времени на линейке времени. С помощью мыши это сделать достаточно сложно, но программа Sound Forge располагает возможностями, полезными для разрешения этой ситуации: Пределы

• чтобы подогнать обе границы выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap To Time;
•  чтобы подогнать только начало выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, установите указатель текущего положения на начало области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двунаправленной стрелки) и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Time;
•  чтобы подогнать только конец выделенной области к ближайшему округленному значению времени на линейке времени, установите указатель текущего положения на конец области, переместив туда курсор мыши (при этом курсор должен принять форму двухсторонней стрелки) и щелкните левой кнопкой мыши. После этого выберите команду меню Edit -> Selection -> Snap Edge To Time. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы.

Еще важнее бывает иметь возможность подогнать начало и (или) конец выделенной области к нулевому уровню данных на диаграмме сигналов.

Задача.  Дано векторное поле и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:

найти поток поля  через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d  с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат; используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля   через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике