Аналитическая геометрия

Базисы в V₃. Координаты векторов относительно базиса.

Определение: Базисом в пространстве свободных векторов V₃ называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Пусть В : а₁, а₂, а₃ – фиксированный базис в V₃.

Определение: Координатами вектора b относительно базиса В называется упорядоченная тройка чисел {x, y, z}, т.ч. b=x·a₁+ y·а₂+z· а₃.

Обозначение: b={x, y, z}_B

Замечание: Под координатами закреплённого вектора понимают координаты соответствующего ему свободного вектора.

Теорема: Соответствие между V₃ и R³ при фиксированном базисе взаимно однозначно, т.е. b V₃ ! {x, y, z} R³ и {x, y, z} R³ ! b V₃, т.ч. b={x, y, z}_B

Соответствие между вектором и его координатами в данном базисе обладает следующими свойствами:

_1.        Пусть b₁={x₁, y₁, z₁}_B, b₂={x₂, y₂, z₂}_B b₁+ b₂={x₁+ x₂, y₁+ y₂, z₁+ z₂}_B

_2.        Пусть b={x, y, z}_B, λ R λ·b={ λ·x, λ· y, λ·z}_B

3.       Пусть b₁|| b₂, b₁= {x₁, y₁, z₁}_B, b₂={x₂, y₂, z₂}_B
  (Здесь: любое число).

Определение: Ортонормированный ( декартов ) базис – это i, j, k, т.ч.

1) | i |=| j |=| k |=1,

2) i j k i.

Замечание: i, j, k – это стандартное обозначение именно декартова базиса. Т.о., встречая его в тексте можно обойтись без дополнительных пояснений относительно системы координат.

Аналитическая геометрия

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры