Аналитическая геометрия

Ортогональная система координат в пространстве.Длина вектора.

Определение: Ортогональная ( декартова ) система координат это

1.     единица масштаба ( отрезок, длина которого будет считаться "единичной" ),

2.     фиксированная т.О ( начало координат )

3.      ортонормированный базис е₁, е₂, е₃ (изменим стандартное обозначения для удобства)

4.       пересекающиеся в т.О прямые l₁, l₂, l₃, т.ч. l_i содержит реализацию е_i, i=1,2,3.

Если на l_i зафиксировать "положительное" направление в соответствии с направлением е_i, получим оси координат (стандартное обозначение осей: Ox, Oy и Oz).

Теорема: Если известны координаты точек А=(x₁,y₁,z₁) и B=(x₂,y₂,z₂) , то координаты вектора АВ можно вычислить по формуле: АВ={ x₁-x₂ , y₁-y₂ , z₁-z₂ }.

Теорема: Если в ортогональной системе координат b={x, y, z}, то | b |=.

Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.

Для дальнейшего изучения свойств пространства необходимо ввести определение ориентации пространства. Строгая теория, касающаяся этого понятия не очень сложна, но достаточно суха. В связи с этим ограничимся лишь некоторыми “качественными” пояснениями.

Итак, все упорядоченные некомпланарные тройки векторов могут быть разбиты на два непересекающихся класса: правые тройки и левые тройки.

Определение : Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а₁, а₂, а₃ называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от а₁ к а₂ и от а₂ к а₃ кажутся происходящими против часовой стрелки. Если повороты происходят по часовой стрелке, то тройка – левая.

Есть и ещё один способ разделить эти два класса:

Правило правой руки: Совместите начала всех векторов тройки в одной точке. Представьте, что в этой точке находится ладонь Вашей правой руки. Совместите большой палец с первым вектором базиса, а указательный – со вторым. Если теперь вы сможете совместить средний палец с третьим вектором, то рассматриваемая тройка векторов – правая. Если нет – левая.

Выбрав один из двух классов и назвав все входящие в него базисы “положительными” мы зададим ориентацию пространства.

Далее будем считать положительными правые тройки векторов. Все дальнейшие определения будем давать с учетом этого

Аналитическая геометрия

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры