Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Скалярное произведение векторов.

Определение : Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosφ_a,b.

Свойства скалярного произведения:

1. коммутативность: (a,b)=(b,a)

2. (а,а)=|а|^{2 Элементы теории множеств Примеры решения и оформления задач контрольной работы}

3. (a,b)=0 <=> a b

4. Дистрибутивность: (a₁+а₂,b)= (a₁,b)+ (a₂,b)

5. (а, λ·b)= λ·(a,b) λ R.

Утверждение 1: В декартовом базисе если а={x₁,y₁,z₁}, b={x₂,y₂,z₂}, то (a,b)=x₁·x₂+y₁·y₂+z₁·z₂.

Пример. Найти угол между векторами.

Векторное произведение векторов.

Определение : Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [a,b], такой что

1.       | [a,b] |=S_a,b, где S_a,b – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. (Если a || b, то S_a,b=0.)

2.       a [a,b] b.

3.       a, b, [a,b] – правая тройка.

Свойства векторного произведения:

1.       [a,b] = -[b,a]

2.       [a,b] = θ ó a || b

3.       [a₁+a₂,b] = [a₁,b]+[a₂,b]

4.       λ·[a,b] = [λ·a,b] = [a,λ·b] λ R.

Утверждение: В декартовой системе координат (базис i, j, k), a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂}

=> [a,b] =

=

Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и c называется число <a, b, c>, т.ч. <a,b,c>=([a,b],c).

Утверждение: <a,b,c>=V_a,b,c, если a,b,c – правая тройка, или <a,b,c>= -V_a,b,c, если a,b,c – левая тройка. Здесь V_a,b,c – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c. (Если a, b и c компланарны, то V_a,b,c=0.)

Утверждение: В декартовой системе координат, если a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂},

с={x₃, y₃, z₃}, => <a,b,c>=.

Подгонка выделенной области