Аналитическая геометрия

Скалярное произведение векторов.

Определение : Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosφ_a,b.

Свойства скалярного произведения:

1. коммутативность: (a,b)=(b,a)

2. (а,а)=|а|²

3. (a,b)=0 <=> a b

4. Дистрибутивность: (a₁+а₂,b)= (a₁,b)+ (a₂,b)

5. (а, λ·b)= λ·(a,b) λ R.

Утверждение 1: В декартовом базисе если а={x₁,y₁,z₁}, b={x₂,y₂,z₂}, то (a,b)=x₁·x₂+y₁·y₂+z₁·z₂.

Пример. Найти угол между векторами.

Векторное произведение векторов.

Определение : Векторным произведением упорядоченной пары векторов a и b называется вектор [a,b], такой что

1.       | [a,b] |=S_a,b, где S_a,b – площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. (Если a || b, то S_a,b=0.)

2.       a [a,b] b.

3.       a, b, [a,b] – правая тройка.

Свойства векторного произведения:

1.       [a,b] = -[b,a]

2.       [a,b] = θ ó a || b

3.       [a₁+a₂,b] = [a₁,b]+[a₂,b]

4.       λ·[a,b] = [λ·a,b] = [a,λ·b] λ R.

Утверждение: В декартовой системе координат (базис i, j, k), a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂}

=> [a,b] =

=

Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов a, b и c называется число <a, b, c>, т.ч. <a,b,c>=([a,b],c).

Утверждение: <a,b,c>=V_a,b,c, если a,b,c – правая тройка, или <a,b,c>= -V_a,b,c, если a,b,c – левая тройка. Здесь V_a,b,c – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c. (Если a, b и c компланарны, то V_a,b,c=0.)

Утверждение: В декартовой системе координат, если a={x₁, y₁, z₁}, b={x₂, y₂, z₂},

с={x₃, y₃, z₃}, => <a,b,c>=.

Аналитическая геометрия

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры