Аналитическая геометрия

Каноническое уравнение плоскости в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор n={A,B,C} и точка М₀=(x₀,y₀,z₀).

Построим плоскость Π, проходящую через т. М₀, перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).

Утверждение 1: М Π ó  М₀М n.

М₀М={x-x₀, y-y₀, z-z₀} n ó  A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0. (*)

Каноническое уравнение плоскости в пространстве:

Аx+By+Cz+D=0, где D = -Ax₀-By₀-Cz₀.

Замечание1: формула (*) используется при непосредственном решении задач, после упрощения получается искомое каноническое уравнение плоскости.

Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор a={p,q,r} и точка М₀=(x₀,y₀,z₀).

Построим прямую l, проходящую через т. М₀, параллельную вектору a (этот вектор называют направляющим вектором прямой).

Утверждение 2: М l ó М₀М || a.

М₀М={x-x₀, y-y₀, z-z₀} || a ó tR, т.ч. М₀М=t·a =>

·                     Параметрические уравнения прямой в пространстве:

(**)

Вы никогда не сталкивались с параметрическим заданием кривых? Поясним на примере: представьте себе, что по заранее намеченному маршруту с известной скоростью движется турист (автомобиль, самолёт, подводная лодка, как Вам больше понравится). Тогда, зная точку начала его путешествия, мы в любой момент времени знаем, где он находится. Таким образом, его положение на маршруте определяется всего одним параметром – временем.

В нашем случае турист движется по бесконечной прямой в пространстве, в момент времени t₀=0 он находится в точке М₀, в любой другой момент времени t его координаты в пространстве вычисляются по формулам (**).

Теперь несколько преобразуем формулы (**).

Выразим из каждой строчки параметр t:

·                     Канонические уравнения прямой в пространстве:

Замечание 2: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения.

Замечание 3: Это формальная запись и выражение вида в данном случае допустимо.

Замечание 4: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель.

Аналитическая геометрия

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ ремонт Керамическая плитка Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Минимальная цена на qashqai каско Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Профессиональная детская ортопедическая обувь известной торговой марки Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций На нашем сайте форум для молодых родителей. Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры