Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

Во многих случаях функцию

приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся. Приведём такой пример.

Пример 1.17 Пусть $a\in\mathbb{R}$ и -- это наибольший корень $x_{\max}$ уравнения . Этим условием задаётся некоторая функция $f:a\mapsto x_{\max}$ . Её область определения $\mathcal{D}(f)$ не пуста, так как, например, при получается уравнение , у которого имеется единственный корень $x_{\max}=0$ , так что и, следовательно, $0\in\mathcal{D}(f)$ . Однако ни выразить значение формулой или иным "конечным" образом, ни полностью описать область определения $\mathcal{D}(f)$ функции не удаётся. В этом случае, однако, для задания функции возможно указание некоторой процедуры вычисления её значений , которую можно реализовать в виде компьютерной программы. Эта процедура станет по каждому конкретно заданному значению определять значение $x_{\max}=f(a_0)$ либо указывать, что исходное уравнение не имеет корней, то есть что не принадлежит $\mathcal{D}(f)$ .

Заказать перевод

Изменяя число в некотором диапазоне, можно найти соответствующие значения с заданной наперёд точностью² и, например, построить график по точкам.

Описанный в предыдущем примере способ задания функции, то есть реализация вычисления значений функции в виде компьютерной процедуры, приобретает всё большее значение по мере развития вычислительной техники и расширения области её применения.

Если числовая функция

, где $x\in A\sbs\mathbb{R}$ , реализуется в виде компьютерной процедуры, то строить график этой функции проще всего по точкам, то есть перебирая с некоторым шагом точки $x_k\in A$ , $k=1,\dots,N$ , и нанося на координатную плоскость

точки вида

и, быть может, для наглядности соединяя отрезками пары соседних точек. Этот способ, несмотря на свою подозрительную простоту, -- вполне возможный (а может быть, и единственно реальный) способ построения графика при отсутствии какой-либо удобной формулы, выражающей значения

через

Следует иметь в виду, что процедура, выдающая значения функции

по заданным

, делает это, как правило, лишь приближённо, да и сами значения аргумента

часто также оказываются заданными приближённо. Если точность вычислений в какой-либо задаче очень важна, то следует проделать анализ возможной погрешности в значении

, вызванной тремя причинами:

а) приближённостью задания переменного

(погрешностью аргумента);

б) приближённостью способа получения значения

(погрешностью метода);

в) приближённостью выполнения арифметических действий при вычислениях по программе, реализующей метод на компьютере (погрешностью вычислений).

Тщательный анализ погрешности обычно бывает провести гораздо сложнее, чем разработать сам алгоритм вычисления

. Если же такой анализ не проводится, то о точности произведённых вычислений судят по косвенным признакам: "хорошо ли ведёт себя" полученный график

, согласуется ли он с интуитивными представлениями о том, как выглядит процесс, описываемый функцией

, и по другим косвенным признакам.

Подробнее об анализе погрешностей можно прочитать в книгах: Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. -- М.: Высш. шк., 1994; Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -- М.: Наука, 1987; Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. -- М.: Наука, 1994, а также других учебниках по приближённым методам вычислений.

Назад Функции и их графики

Наверх:Функции и их графики

Вперед:Композиция функций

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать курсовую \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции

Математический анализ. Алгебра и аналитическая геометрия

Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления