Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Пример 3. Вычислить длину дуги эллипса

.

  Р е ш е н и е. Перейдем к параметрическому заданию эллипса

, , .

 Дифференцируя по , получаем

;  ,

откуда

,

где — эксцентриситет эллипса, .

  Таким образом,

.

Интеграл  не берется в элементарных функциях: он называется эллиптическим интегралом второю рода. Полагая , приводим интеграл к стандартному виду:

.

где  Е()—обозначение для так называемого полного эллиптического интеграла второго рода.

 Следовательно, для длины дуги эллипса имеет место формула .

  Обычно полагают  и пользуются таблицами функции

.

  Например, если  и , то

.

  По таблице значений эллиптических интегралов второго рода находим .

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры