Поверхностный интеграл второго рода
К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит
физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S.
При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция 
(x,y,z) скорости жидкости.
Поверхность S называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S, возвращается в первоначальное положение. Сторона поверхности S задаётся выбором направления нормали к поверхности, в этом случае поверхность называется ориентированной. Поверхностный интеграл 2-го рода имеет вид
где 
- скалярное произведение, в котором 
- единичный вектор нормали к заданной
стороне поверхности S в произвольной точке (S - поверхность интегрирования). Применяется
и другое обозначение векторной функции, а именно 
. Если векторные функции задать своими координатами
Геометрическая
интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений
(P(x,
у, z), Q(x, у, z), R(x, y, z)), (cos α, cos β, cosγ), то поверхностный
интеграл 2-го рода можно записать в одной из следующих форм:
Если уравнение поверхности задано в виде z= f(x, у) и поверхность S взаимнооднозначно проектируется на координатную плоскость хОу в область хOу, то интеграл (45) можно вычислить по расчетной формуле
где запись
означает, что после вычисления скалярного произведения переменную z необходимо заменить на f(x, у). Обратные тригонометрические функции Математика курс лекций
Единичный вектор
нормали вычисляется по формуле:
Коэффициент при орте 
в формуле (47) определяет косинус
В формулах (47) и (48) выбирается знак
«плюс», если угол γ между осью Oz и вектором - острый; знак «минус», если этот угол - тупой.
Формулы (46) - (48) реализуют метод вычисления поверхностного интеграла, который называется методом проектирования на одну из координатных плоскостей.
Свойства поверхностных интегралов 2-го рода такие же, как у поверхностных интефалов 1-го рода, за исключением одного - при изменении стороны поверхности интеграл (45) меняет знак.
Пример 4.
Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода по внешней боковой стороне
цилиндра 
, лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями
х = 0,5, х = 1, у =0,5, причём 0,5 < х < 1, у > 0,5.
Векторная функция
РЕШЕНИЕ
Заданная поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость хОу, причём область Dху - квадрат
По условию задачи угол γ - острый, поэтому в формулах (47), (48) выбираем знак «плюс».
Рис.10 - к примеру 4
Уравнение поверхности
. Вычисляем формулы (47) и (48) и результат подставляем
в (46):
Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.
Задача
7 . Доказать (найти 
), что 
При
Это значит, что при 
функция имеет пределом число 
.
Задача
8 . Доказать, что функция 
непрерывна в точке 
(найти ).
при
,
,
выполняется при 
| Решение варианта контрольной работы |
|