Замена переменной и интегрирование по частям (продолжение)
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте §18.1 лекций и предложенные рассуждения, ответьте на вопросы и решите задачи
Итак, для вычисления неопределенного интеграла необходимо свести его к табличному, выбирая для этого на каждом шаге одно из трех действий:
- упрощение (разложение на слагаемые),
- замену переменной (включая сюда и внесение под дифференциал), Вычислить повторный интеграл
- интегрирование по частям.
Примеры
- табличный интеграл (вынести 
)
- упростить, разделив почленно числитель на знаменатель
- сделать замену t=-(x2+1) (или внести х под знак дифференциала)
- берется по частям (u=x,
dv=cos(1-px)dx) Конические
сечения
Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене – способ выбора замены переменной. Для того, чтобы выделить полный квадрат, надо вспомнить формулу сокращенного умножения:
Подчеркнуты два слагаемых, на которые мы будем опираться при выделении полного квадрата. Перепишем равенство:
Пример
Рассмотрим
квадратный трехчлен 
. Прежде всего вынесем за скобки множитель перед х2:
Первые
два слагаемых в скобках соответствуют первым двум слагаемым в правой части формулы
квадрата суммы. Следовательно, очевидно, 
. Таким образом, получаем:
.
Задача 14. Найти производную.
Задача
15. Найти производную 
.
Задача
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей
значению параметра 
.
-
уравнение касательной,
-
уравнение нормали.
Задача 17. Найти производную 
-го порядка.
| Применение тройных интегралов |
|