Функции комплексной переменной
Определение и свойства функции комплексной переменной
Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой – множество D комплексных чисел z = x + iy, где i – мнимая единица (i2 = –1), на второй – множество G комплексных чисел w = u +iv.
Если каждому числу 
по некоторому правилу f поставлено в соответствие определенное
число 
, то говорят, что на
множестве D задана функция комплексной переменной (ФКП), отображающая множество
D в множество G. Обозначается: w = f (z).
Множество D называется областью определения ФКП.
Функцию w = f (z) можно представить в виде
f (z) = u(x, y) + iv(x, y),
где u(x, y) – действительная часть ФКП, v(x, y) – мнимая часть ФКП, обе они – действительные функции от x, y.
Пример 1. 
. Здесь 
= x – iy – число, сопряженное числу z= x+iy. Находим
первую производную заданной функции.
Выделим действительную и мнимую части ФКП:
u = x2 – y2 – 2x; v =
2xy + 2y.
Вычислим значение функции w в точке z1 = 2 – 3i:
.
Тот же результат получаем непосредственной подстановкой:
.
Говорят, что ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) имеет предел в
точке z0, равный числу A = a + ib, если 
. Обозначается: 
.
Существование предела ФКП w = f (z) при 
в означает существование двух пределов: 
.
ФКП f (z) = u(x, y) +iv(x, y) называется непрерывной в точке
z0, если выполняется условие: 
.
Непрерывность ФКП w = f (z) в точке z0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0, y0).
Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.
| Решение варианта контрольной работы |
|