Примеры решения задач курсового расчета, контрольной работы по математике

Графика
Курс лекций для студентов
художественно-графических факультетов
Геометрическое черчение
Начертательная геометрия
Конспект лекций
Практикум решения задач
начертательной геометрии
Машиностроительное черчение
Эскизирование деталей
Правила нанесения размеров
Практическое занятие
Решение метрических задач
Выполнение чертежей
Инженерная графика
База графических примеров
Теория механизмов и машин
Теоретическая механика
Основы технической механики
Сборник задач по математике
Примеры решения задач курсового расчета
Вычислить интеграл
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Тройные и двойные интегралы
Линейная алгебра
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Типовой расчет (задания из Кузнецова)
Вычисление площадей в декартовых координатах
Математический анализ
Информатика
Компьютерные сети
Выделенный канал
Средства анализа и управления сетями
Кабельная система
Базовые технологии локальных сетей
Сетевой уровень
Основы вычислительных систем
Сетевая технология
Мобильный Internet
Руководства по техническому обслуживанию ПК
Руководство по глобальной компьютерной сети
Сборник задач по физике
Физика решение задач
Ядерная физика
Законы теплового излучения
Решение задач по электротехнике
использование MATLAB
Язык программирования MATLAB
Расчет электрических цепей
Моделирование цепей переменного тока
Лекции ТКМ
Электротехнические материалы
Атомная энергетика
Ядерные реакторы
Основы ядерной физики
Использование атомной энергетики
для решения проблем дефицита пресной воды
Проектирование и строительство
атомных энергоблоков
Юбилей Атомной энергетики
Атомные станции с реакторами РБМК 1000
АЭС с реакторами ВВЭР
Реаторы третьего поколения ВВЭР-1500
АЭС с реакторами БН-600
Оборудование атомных станций
Отказы оборудования
Ядерное оружие
Ядерная физика

Ядерные реакторы технология

 

Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ).

Вычислить интеграл

Вычислить интеграл

Вычислить интеграл

Найти интеграл

В данной секции мы рассмотрим вычисление интегралов вида , где R - рациональная функция x и квадратного корня . Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Найти интеграл .

Найти интеграл .

Интегрирование рациональных функций

Вычислить интеграл . . . .

В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций . Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

Интегрированиенекоторых классов тригонометрических функций

Найти интеграл . . .

Повторные интегралы Области интегрирования I и II типа Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа.

Найти повторный интеграл . Вычислить .

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Криволинейные интегралы первого рода

Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2)

Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением .

Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом

Криволинейные интегралы второго рода

Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Вычислить вдоль кривой от точки O (0,0) до A (1,1)

Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой в интервале

Вычислить криволинейный интеграл , где C − дуга эллипса (рисунок 6), заданного параметрически в виде .

Теорема Остроградского-Гаусса

Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, образованного цилиндром и плоскостями z = −1, z = 1

Используя формулу Остроградского-Гаусса, оценить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность тела, ограниченного и плоскостью z = 1.

Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля , где S − поверхность параллелепипеда, образованного плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0, z = 3

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования

Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования: 1) AB − отрезок прямой от точки A (0,0) до точки B (1,1); 2) AB − участок параболы от A (0,0) до B (1,1).

Показать, что криволинейный интеграл , где точки A, B имеют координаты A (1,2), B (4,5), не зависит от пути интегрирования, и найти значение этого интеграла.

Определить, является ли векторное поле потенциальным?

Определить, является ли потенциальным векторное поле ?

Физические приложения двойных интегралов

Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .

Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми и имеющего плотность .

Физические приложения криволинейных интегралов

С помощью криволинейных интегралов вычисляются

Работа поля

Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .

Определить массу проволоки, имеющей форму дуги окружности от точки A(1,0) до B(0,1) с плотностью

Найти центр масс проволоки, имеющей форму кардиоиды

Вычислить момент инерции Ix проволоки в форме окружности x2 + y2 = a2 с плотностью ρ = 1.

Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v0. Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Вычислить индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии r от оси бесконечно длинного проводника с током

Физические приложения поверхностных интегралов

Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

  • Масса оболочки;
  • Центр масс и моменты инерции оболочки;
  • Сила притяжения и сила давления;
  • Поток жидкости и вещества через поверхность;
  • Электрический заряд, распределенный по поверхности;
  • Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике).

Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где

Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .

Найти центр масс части сферической оболочки , расположенной в первом октанте и имеющей постоянную плотность μ0.

Вычислить момент инерции однородной сферической оболочки x2 + y2 + z2 = 1 (z ≥ 0) с плотностью μ0 относительно оси Oz.

Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m, расположенной в начале координат.

Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 6 и представляющую собой резервуар воды шириной W и высотой H.

Физические приложения тройных интегралов

Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z

Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

С какой силой притягивает однородный шар массы M материальную точку массы m, расположенную на расстоянии a от центра шара (a > R)?

Пусть планета имеет радиус R, а ее плотность выражается зависимостью

Теорема Стокса

Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

Используя теорему Стокса, найти криволинейный интеграл .

Вычислить криволинейный интеграл , используя теорему Стокса.

Найти интеграл с использованием теоремы Стокса

Поверхностные интегралы первого рода

Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте

Вычислить интеграл , где S представляет собой полную поверхность конуса .

Вычислить интеграл , где S − часть конуса внутри поверхности .

Найти интеграл , где поверхность S − часть сферы , лежащая в первом октанте.

Вычислить интеграл . Поверхность S задана параметрически в виде.

Поверхностные интегралы второго рода Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z(x,y), где z(x,y) − дифференцируемая функция в области D(x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм

Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .

Оценить поток векторного поля через коническую поверхность , ориентированную внешней стороной.

Оценить поток векторного поля через внутреннюю сторону единичной сферы .

Вычислить интеграл , где S − часть внутренней поверхности эллипсоида, заданного параметрически в виде .

Найти интеграл , где S − внутренняя поверхность сферы .

Тройные интегралы в декартовых координатах

Вычислить интеграл

Вычислить тройной интеграл где область U ограничена поверхностями

Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами.

Тройные интегралы в цилиндрических координатах

Вычислить интеграл где область U ограничена поверхностью x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1

Вычислить интеграл где область U ограничена поверхностями x2 + y2 = 3z, z = 3

Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла

Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты:

Найти интеграл где область U ограничена плоскостями z = x + 1, z = 0 и цилиндрическими поверхностями x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4

Тройные интегралы в сферических координатах

Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.

Вычислить интеграл xyzdxdydz, где область U представляет собой часть шара x2 + y2 + z2R2, расположенную в первом октанте x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Найти тройной интеграл где область U ограничена эллипсоидом

Вычислить интеграл используя сферические координаты

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой

Найти производную функции .

Производная показательной и логарифмической функции

Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой

где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е

Вычислить производную функции

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x.

Вычислить производную функции .

Производная степенной функции

Вычислить производную функции .

Вычислить производную функции .

Производная произведения и частного функций

Вычислить производную y(x)=tg x используя формулу производного частного.

Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции)

Продифференцировать функцию .

Вывести формулу для производной арксинуса.

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Найти разложение в степенной ряд для рациональной дроби .

Найти представление в виде степенного ряда функции .

Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e x.

Найти производную функции

Производная суммы равна сумме производных

Производная произведения функций

Производная частного функций

Найти производную функции

Найти производную функции

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

1. Нахождение производных элементарных функций, используя свойства.
2. Дифференцирование сложной и неявной функции.
3. Производные высших порядков.
4. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1. Решение пределов по правилу Лопиталя.
2. Исследование функций на возрастание и убывание.
3. Экстремумы.
4. Выпуклости функций и точки перегиба.
5. Нахождение асимптот: вертикальных, горизонтальных, наклонных.
6. Исследования функции и построение графиков.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Непосредственное интегрирование.
2. Решение интегралов заменой переменной.
3. Интегрирование по частям.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Определение интеграла по формуле Ньютона - Лейбница.
2. Нахождение площади криволинейной трапеции.
3. Замена переменной в определенном интеграле.
4. Интегрирование по частям определенного интеграла.
5. Переменные пределы и несобственные интегралы.
6. Площадь, длина дуги кривой, объем тела вращения.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Нахождение частных производных.
2. Полное приращение и полный дифференциал.
3. Производная и дифференциал сложной и неявной функций.
4. Производная высших порядков.
5. Нахождение градиента.
6. Экстремумы.
7. Условный экстремум и экстремум с ограничениями.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Вычисление кратных интегралов.
2. Геометрические приложения.
РЯДЫ

1. Решение примеров на сходимость и ее признаки: необходимый, сравнения, Деламбера, Коши.
2. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
3. Функциональные ряды.
4. Степенные ряды, область и интервал сходимости.
5. Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка.
2. Уравнения 2-го порядка: однородные и неоднородные.

Определение производной

Задача вычисления скорости прямолинейного движения точки. Пусть материальная точка движется по прямой, причём закон движения точки задаётся уравнением S=f(t), где S есть путь, пройденный точкой от момента начала движения до момента времени t. Предположим вначале, что точка движется равномерно, т.е. за равные отрезки времени проходит равные отрезки пути.

Задачи, приводящие к понятию производной Рассмотрим пример. Вычислим мгновенную скорость материальной точки, свободно падающей под действием силы тяжести.

Механический и геометрический смысл производной. Уравнения нормали и касательной к графику функции.

Примеры вычисления производной

Понятие дифференцируемости функции

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Геометрический смысл дифференциала Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке значение y0= f(x0). Рассмотрим график этой функции

Пример. Найти производную функции y = x5. Найти производную функции y=sin x.

Производная обратной функции

Производная сложной функции

Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции. Найти производную функции . Найти производную функции .

Рассмотрим несколько примеров применения основных правил вычисления производной. Пример . Найти производную функции .

Логарифмическое дифференцирование

Односторонние производные

Производные высших порядков

Свойства дифференцируемых функций Возрастание и убывание функции в точке и на интервале

Локальный максимум и локальный минимум функции

Теорема Ролля Теорема Лагранжа

Теорема Коши Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Лагранжа.

Условие постоянства функции на интервале

Условия монотонности функции на интервале Рассмотрим сначала достаточные условия строгой монотонности функции на интервале.

Отыскание точек локального экстремума функции Как следует из теоремы 17.1, производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума этой функции равна нулю. Поэтому функция, дифференцируемая на некотором интервале, может иметь на этом интервале локальный экстремум только в тех точках, где её производная равна нулю. Такие точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками возможного экстремума или стационарными точками

Исследование функций с помощью производных Рассмотрим примеры нахождения локальных экстремумов с помощью производной.

Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Асимптоты графика функции

Найти асимптоты графика функции .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия и примеры. Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения 2-го порядка: однородные и неоднородные. Дифференциальные уравнения как основной метод описания математических моделей процессов. Линейные уравнения в решении экономических задач.

Образовательные технологии

Комплексное изучение учебной дисциплины "Математический анализ" предполагает овладение материалами лекций, учебной литературы, творческую работу студентов в ходе проведения практических, а также систематическое выполнение заданий для самостоятельной работы студентов.
В ходе лекций раскрываются основные вопросы в рамках рассматриваемой темы, делаются акценты на наиболее сложные и интересные положения изучаемого материала, которые должны быть приняты студентами во внимание. Материалы лекций являются основой для подготовки студента к практическим занятиям.
Основной целью практических занятий является контроль степени усвоения пройденного материала, закрепление материала и развитие навыка самостоятельного решения задач.
При проведении занятий в аудитории используется интерактивное оборудование (компьютер, мультимедийный проектор, интерактивный экран), что позволяет значительно активизировать процесс обучения. Это обеспечивается следующими предоставляемыми возможностями: отображением содержимого рабочего стола операционной системы компьютера на активном экране, имеющем размеры классной доски, имеющимися средствами мультимедиа; средствами дистанционного управления компьютером с помощью электронного карандаша и планшета. Использование интерактивного оборудования во время проведения занятий требует знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio и умения пользоваться информационными технологиями. Получение знаний и навыков работы с программой ACTIVstudio при проведении занятий по данной изучаемой дисциплине возможно с помощью специального обучающего курса на электронном носителе, который можно получить на факультете экономики, менеджмента и международного туризма.