Другие разделы курса математики технического университета

Задачи
Практикум
Карта сайта

Контрольная по математике Практикум по решению задач

Пределы Примеры решения заданий . Доказать, что  (указать ), где .

Вычислить предел: .

Вычислить предел функции: .

Вычислить предел функции: .

Исследовать функцию и построить ее график.

 

Дифференцируемые функции Найти производную функции.

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

Интегрирование некоторых иррациональных функций. Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции. К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Найти полное приращение и дифференциал функции  в точке .

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(2,4,6).

Вычислить повторный интеграл .

Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Вычислить тройной интеграл , где V ограничена полусферой , цилиндром и плоскостью .

Задача. Дана система линейных уравнений Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы. Выполнить проверку решения.

Задача Методом исключения неизвестных найти общее и базисное решение системы линейных уравнений 

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Задача 6. Вычислить .

Задача 11. Вычислить .

Задача 15. Вычислить Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей. Множителю  будет соответствовать сумма  множителю   - дробь .

Задача 18. Найти работу вектор-силы  на криволинейном пути

Задача 21. Определить, какие ряды сходятся

Задача. Найти область сходимости функционального ряда

Дифференциальные уравнения Задача Найти общее решение дифференциального уравнения .

Задача Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти  уравнения в полных дифференциалах

Задача. Указать вид частного решения дифференциального уравнения 

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Пример Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Вычислить или установить сходимость интеграл . По виду определяем, что это несобственный интеграл 1-го рода по полубесконечному промежутку.

Площадь фигуры заданной в параметрической форме. Найти площадь области ограниченной линией – графиком функции заданной в параметрической форме : x=a cos(t) , y=b sin(t), 0 £ t £ π/2 ( первая четверть эллипса) .Подставляем данные в формулу и результат сравниваем с ранее рассмотренной задачей.

Формула вычисления объема  фигуры вращения, образованной вращением линии вокруг координатной оси.

Вычислить в цилиндрической системе координат тройной интеграл: ,  Где область 

Вычислить интеграл по контуру L:

Вычислить криволинейный интеграл  от точки  до точки : 1) по прямой линии , 2) по дуге параболы , 3) по дуге эллипса .

Вычислить двойной интеграл:  по области D, ограниченной линиями:

 

Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями:

Пример 4. Вычислить двойной интеграл , когда область интегрирования D ограничена линиями y=2, y=x, y=1/x.

Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл:  по области D, заданной ограничениями .

Задача 1 (МЭСИ). На отрезках АВ и АС как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть двух образовавшихся полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ=4, АС = 2, ВАС = 120°.

Задача 3 (МАИ). В треугольнике ABC биссектриса, проведенная из вершины А, имеет длину 2, и АВ= 2АС. На стороне АВ взята точка М, а на стороне АС — точка N так, что BM=AN. Найдите наименьшее возможное расстояние от середины отрезка MN до вершины А. 

К кривой  в точках с абсциссами  и проведены касательные. При каком значении b периметр треугольника, образованного проведенными касательными и осью Oy, будет наименьшим?

 В треугольной пирамиде SABC все ребра имеют одинаковую длину, равную l . На ребре SA взята точка М так, что SM =, на ребре SB взята точка N, а на плоскости ABC взята точка Р. Найдите наименьшую величину суммы длин отрезков MN и NP. 

Задача. Дана система линейных уравнений

Методом исключения неизвестных найти общее и базисное решение системы линейных уравнений 

На главную