Назад Векторное произведение  
 Наверх: Векторная алгебра
Вперед: Смешанное произведение

Untitled Document


Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис i, j, k. Наложим на этот базис еще одно дополнительное условие, а именно: из конца вектора k поворот от i к j по кратчайшему направлению должен быть виден против часовой стрелки.

        Определение 10.27   Упорядоченную тройку некомпланарных векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ будем называть правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора $ {\bf a}_3$ поворот от первого вектора $ {\bf a}_1$ ко второму вектору $ {\bf a}_2$ по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки. Если поворот виден по часовой стрелке, то тройку называют левой тройкой векторов.        

Оказывается, если векторы правой тройки изменять непрерывно, но так, чтобы в любой момент времени они были не компланарны, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет правой тройкой. Аналогичным свойством обладает и левая тройка векторов.

Отметим также, что определение векторного произведения и правой (левой) тройки вектров связаны с наличием в пространстве "физических" объектов: часов, человека и т. п. В абстрактном векторном пространстве, где такие объекты отсутствуют, определить, какая тройка -- правая, а какая -- левая, невозможно. Можно только все некомпланарные тройки векторов разбить на два класса такие, что при непрерывной деформации тройки одного класса, при которой в любой момент векторы тройки не компланарны, тройка все время остается в своем классе.

Итак, пусть в трехмерном пространстве задан ортонормированный базис i, j, k, векторы которого образуют правую тройку векторов. Такой базис будем называть правым.

Используя определение векторного произведения, легко проверить следующую таблицу умножения $ {\bf a}\times{\bf b}$ :

a \ bijk
i0k- j
j- k0i
kj- i0

        Предложение 10.24   Пусть $ {\bf a}=({\alpha}_1,{\alpha}_2,{\alpha}_3)$ , $ {\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)$ . Тогда

 

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}=({\alpha}_2{\beta}_3-{\alpha}_3{\beta}_2,{\alpha}_3{\beta}_1-{\alpha}_1{\beta}_3, {\alpha}_1{\beta}_2-{\alpha}_2{\beta}_1).$

        Доказательство.    По условию $ {{\bf a}={\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alpha}_3{\bf k}}$ , $ {{\bf b}={\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\bf j}+{\beta}_3 {\bf k}}$ . В силу  предложений 10.20 и 10.21 получим

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}=({\alpha}_1{\bf i}+{\alpha}_2{\bf j}+{\alph... ... {\bf b})+{\alpha}_2 ({\bf j}\times {\bf b})+{\alpha}_3({\bf k}\times {\bf b})$(10.5)

По тем же правилам

 

$\displaystyle {\bf i}\times {\bf b}={\bf i}\times ({\beta}_1{\bf i}+{\beta}_2{\... ...s {\bf i})+ {\beta}_2({\bf i}\times {\bf j})+{\beta}_3({\bf i}\times {\bf k}).$

По таблице умножения $ {{\bf i}\times {\bf b}={\beta}_2{\bf k}-{\beta}_3{\bf j}}$ . Аналогично находим $ {{\bf j}\times {\bf b}=-{\beta}_1{\bf k}+{\beta}_3{\bf i}}$ , $ {{\bf k}\times {\bf b}={\beta}_1{\bf j}-{\beta}_2{\bf i}}$ . Подставив полученные результаты в формулу (10.5), получим

 

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}={\alpha}_1({\beta}_2{\bf k}-{\beta}_3{\bf j... ...ta}_1{\bf k}+{\beta}_3{\bf i})+ {\alpha}_3({\beta}_1{\bf j}-{\beta}_2{\bf i})=$

 

$\displaystyle =({\alpha}_2{\beta}_3-{\alpha}_3{\beta}_2){\bf i}+({\alpha}_3{\be... ...{\alpha}_1{\beta}_3) {\bf j}+({\alpha}_1{\beta}_2-{\alpha}_2{\beta}_1){\bf k}.$

   

Запомнить полученную формулу довольно тяжело. Чтобы облегчить этот процесс, введем еще два дополнительных объекта -- матрицу и определитель.

Матрицей второго порядка будем называть таблицу из четырех чисел, которая обозначается \begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} {\alpha}_1&{\alpha}_2\\ {\beta}_1&{\beta}_2 \end{array} \right)\end{displaymath} , матрицей третьего порядка называется таблица из 9 чисел -- \begin{displaymath}\left( \begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\alpha}_2&{\alpha}_3\... ...}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array} \right).\end{displaymath}

Определителем матрицы второго порядка будем называть число $ {\alpha}_1{\beta}_2-{\alpha}_2{\beta}_1$ . Определитель второго порядка обозначается \begin{displaymath}\left\vert \begin{array}{cc} {\alpha}_1&{\alpha}_2\\ {\be... ...end{array} \right\vert={\alpha}_1{\beta}_2-{\alpha}_2{\beta}_1\end{displaymath} .

Определителем матрицы третьего порядка будем называть число

 

\begin{displaymath}\left\vert \begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\alpha}_2&{\alpha... ...eta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert.\end{displaymath}

Сформулируем словами правило вычисления определителя третьего порядка.

Берем первый элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец с этим элементом. Умножаем этот элемент на определитель, оставшийся после вычеркивания. Затем пишем знак "-" и берем второй элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец с этим элементом и пишем оставшийся определитель. Затем пишем знак "+" и третий элемент первой строки. Снова вычеркиваем строку и столбец с этим элементом и пишем оставшийся определитель.

В дальнейшем мы увидим, что столь сложно введенное понятие определителя оказывается очень полезным при решении систем линейных уравнений, определении линейной зависимости векторов и во многих других задачах.

        Пример 10.1   Вычисление определителей:

1) $ \left\vert\begin{array}{rr} 3&1\\ -1&4\end{array}\right\vert=3\cdot 4-1\cdot(-1)=13$ .



2) $ \left\vert\begin{array}{rrr} 1&2&-3\\ 1&-1&0\\ 2&1&4\end{array}\right\vert= 1... ...ght\vert+(-3)\cdot\left\vert\begin{array}{rr} 1&-1\\ 2&1\end{array}\right\vert=$


$ =\left((-1)\cdot4-0\cdot1\right)-2\cdot(1\cdot4-0\cdot2)-3\left(1\cdot1 -(-1)\cdot2\right)=-21$ .        

Формула для определителя третьего порядка позволяет кратко записать формулу для вычисления векторного произведения.

        Предложение 10.25   Если в правом ортонормированном базисе i,j,k заданы координаты векторов $ {{\bf a}=({\alpha}_1, {\alpha}_2,{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1,{\beta}_2,{\beta}_3)}$ , то

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}=\left\vert\begin{array}{ccc} {\bf i}&{\bf j... ...{\alpha}_2&{\alpha}_3\\ {\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3 \end{array}\right\vert.$(10.6)

        Доказательство.    Достаточно лишь написать формулу вычисления приведенного в теореме определителя и сравнить ее с формулой  предложения 10.24.    

        Пример 10.2   Пусть $ {\bf a}={\bf i}-2{\bf j}+{\bf k}$ , $ {\bf b}=2{\bf i}-3{\bf k}$ . Тогда

 

$\displaystyle {\bf a}\times {\bf b}=\left\vert\begin{array}{rrr} {\bf i}&{\bf j... ...right\vert+{\bf k}\left\vert\begin{array}{rr} 1&-2\\ 2&0\end{array}\right\vert=$

 

$\displaystyle={\bf i}\bigl((-2)\cdot(-3)-1\cdot0\bigr)-{\bf j}\bigl(1\cdot(-3)-1\cdot2\bigr)+ {\bf k}\bigl(1\cdot0-(-2)\cdot2\bigr)=6{\bf i}+5{\bf j}+4{\bf k}.$

       

Задача. Пусть вершины треугольника расположены в точках $ A(1;-1;2)$ , $ B(2;2;1)$ , $ C(0;4;-1)$ . Найдите площадь треугольника.

Решение. По  предложению 10.22 $ {S_{\triangle}= \frac 12\vert\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}\vert}$ . Находим $ {\overrightarrow {AB}=(1;3;-1)}$ , $ {\overrightarrow {AC}=(-1;5;-3)}$ ,

 

$\displaystyle \overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}=\left\vert\begin{... ...right\vert+{\bf k}\left\vert\begin{array}{rr} 1&3\\ -1&5\end{array}\right\vert=$

 

$\displaystyle={\bf i}(-9+5)-{\bf j}(-3-1)+{\bf k}(5+3)=-4{\bf i}+4{\bf j}+8{\bf k},$

то есть $ \overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}=(-4;4;8)$ . Тогда

 

$\displaystyle S_{\triangle}=\frac 12\sqrt{16+16+64}=\frac 12\sqrt{96}=2\sqrt6.$

Ответ:$ 2\sqrt6$ .    

Задача. Найдите такой единичный вектор e, ортогональный векторам $ {{\bf a}=(3;2;2)}$ , $ {{\bf b}= (1;-1;4)}$ , что тройка векторов a,b,e -- левая.

Решение. Найдем вектор $ {\bf c}={\bf a}\times {\bf b}$ :

 

$\displaystyle {\bf c}=\left\vert\begin{array}{rrr} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ 3&... ...gin{array}{rr} 3&2\\ 1&-1\end{array}\right\vert= 5(2{\bf i}-2{\bf j}-{\bf k}).$

Вектор c ортогонален векторам a и b. Найдем его длину: $ {\vert{\bf c}\vert=5\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}=15}$ . Тогда $ {{\bf d}=\frac 1{15}{\bf c}}$  -- единичный вектор, ортогональный векторам a,b. Векторы a,b,c, а следовательно, и векторы a,b, $ {{\bf d}= \left(\frac 23;-\frac 23;-\frac 13\right)}$ . образуют правую тройку векторов. Поэтому $ {{\bf e}=-{\bf d}}$ .

Ответ: $ {\bf e}=\left(-\frac 23;\frac 23;\frac 13\right)$.    
Наверх: Векторная алгебра

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры