Назад Обратная функция
Наверх: Функции и их графики
Вперед: Пределы

Untitled Document

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Упражнения

        Упражнение 1.6   Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.     

        Упражнение 1.7   Вспомните материал школьного курса математики и постройте графики следующих функций. Найдите области определения и области значений этих функций.

а) $ f(x)=\sin 2x$;


б) $ f(x)=\cos x+3$;


в) $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2})$;


г) $ f(x)=x^2+4x+5$;


д) $ f(x)=x^3+1$;


е) $ f(x)=\sqrt[5]{x}$;


ж) $ f(x)=\arcsin x+\frac{\pi}{2}$;


з) $ f(x)=\arccos x-\frac{\pi}{2}$;


и) $ f(x)=3^{x-2}$;


к) $ f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$;


л) $ f(x)=\log_2(x-1)$;


м) $ f(x)=2^{3x-1}$;


н) $ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$.


Ответы:

а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;

б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\;\mathcal{E}(f)=[2;4]$;

в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\pi+2k\pi\},\;\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[1;+\infty)$;

д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

ж) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[0;\pi]$;

з) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;

и) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;

к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\}$;

л) $ \mathcal{D}(f)=(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

м) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;

н) $ \mathcal{D}(f)=(-1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$.     

        Упражнение 1.8   Найдите области определения и области значений следующих функций:

а) $ f(x)=-x^2+6x-5$;

б) $ f(x)=\cos2x+3\sin2x$;

в) $ f(x)=\dfrac{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}$;

г) $ f(x)=\dfrac{1-\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}$;

д) $ f(x)=x+\dfrac{1}{x}$;

е) $ f(x)=\sin(\arcsin x)$;

ж) $ f(x)=\arcsin(\sin x)$;

з) $ f(x)=2^{\log_2x}$;

и) $ f(x)=(\sqrt{x})^2$;

к) $ f(x)=\sqrt{x^2}$;

л) $ f(x)=\sqrt{-x^2}$;

м) $ f(x)=\sqrt{4-x^2}$.

Какие из этих функций из области $ \mathcal{D}(f)$ в область $ \mathcal{E}(f)$ являются биекциями?

Ответы:

Биекциями являются функции пп. е), з), и), л), пpичём все эти четыpе функции -- тождественные отобpажения:

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathcal{E}(f); f=f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits : \mathcal{D}(f)\to\mathcal{D}(f)$

пpи соответствующих областях $ \mathcal{D}(f)$. Все остальные функции -- не биекции.

а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;4)$;

б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\sqrt{10};\sqrt{10}]$;

в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ (заметим, что $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits 2x$ пpи $ x\in\mathcal{D}(f)$.

г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{k\pi}{2}\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$;

е) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;

ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;

з) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;

и) $ \mathcal{D}(f)=[0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;

к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;

л) $ \mathcal{D}(f)=\{0\},\; \mathcal{E}(f)=\{0\}$;

м) $ \mathcal{D}(f)=[-2;2],\; \mathcal{E}(f)=[0;2]$.     

        Упражнение 1.9   Постройте графики функций:

а) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x,&\mbox{ при }x<0,\\ -x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}


б) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt[3]{x},&\mbox{ при }x<0,\\ x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}


в) $ f(x)=\ln\vert x\vert$;


г) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x+1\vert,&\mbox{... ...1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0,\ x\ne1; \end{array} \right.\end{displaymath}


д) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x-1\vert,&\mbox{... ...\vert x+1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}


е) $ f(x)=\max\limits_{z\in[x-1;x+1]}(z^3-3z)$;


ж) $ f(x)=\log_{\vert x\vert}\dfrac{1}{2}$;


з) $ f(x)=\log_{\frac{1}{x}}x$; p class=pic>


и) $ f(x)=2^{\vert\log_2x\vert+1}$.

Найдите области опpеделения и области значений этих функций. Какие из этих функций $ f: \mathcal{D}(f)\to\mathcal{E}(f)$ являются биекциями? Если $ f$ -- биекция, найдите обратную функцию $ f^{-1}$ и постройте её график.

Ответы:

Биекцией является только функция п. б), пpи этом $ f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^3,&\mbox{ пpи }x<0;\\ \sqrt[3]{x},&\mbox{ пpи }x\geqslant 0. \end{array}\right.$

а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;0]$;

б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;

е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;0;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$;

з) $ \mathcal{D}(f)=(0;1)\cup(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\{1\}$;

и) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[2;+\infty)$.     

        Упражнение 1.10   Последовательность $ {f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}}$ задана формулой $ {f(n)=n^2-3n+5}$. Найдите такие числа $ a$ и $ b$, что для любого $ n\in\mathbb{N}$, $ n\geqslant 3$, выполняется рекуррентная формула $ f(n)=af(n-1)+bf(n-2)$.     

        Упражнение 1.11   Последовательность $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ задана рекуррентной формулой $ f(n)=3f(n-1)-2f(n-2)$ при $ n\geqslant 3$, причем $ f(1)=1$, $ f(2)=1$. Найдите такие числа $ a$ и $ b$, что при всех $ n\in\mathbb{N}$ выполняется формула $ f(n)=n^2+an+b$.     

        Упражнение 1.12   Пусть первые члены последовательности $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ таковы: $ f(1)=5$, $ f(2)=1$, $ f(3)=0$. Найти такие формулы, что $ f(n)$ равняется заданным числам при n=1,2,3, причем при некоторых $ a,b,c,d$ формула имеет вид:

а) $ f(n)=an^2+bn+c$;

б) $ f(n)=\dfrac{a}{n}+bn+c$;

в) $ f(n)=\dfrac{an+b}{cn+d}$;

г) $ f(n)=an^4+bn^2+c$.     

        Упражнение 1.13   Приведите примеры и постройте графики функций, обладающих следующими свойствами:

а) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\diagdown \{0\}$, причем $ f$ -- биекция;

б) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ и каждое своё значение $ f(x)=y$ функция принимает ровно по два раза, то есть для любого $ y\in\mathbb{R}$ существуют ровно две точки $ x_1=x_1(y)$ и $ x_2=x_2(y)$ ($ x_1<x_2$), такие что $ f(x_1)=f(x_2)=y$;

в) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\diagdown \mathbb{Z}$, причем $ f$ -- биекция;

г) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ f$ -- сюръекция и каждое целое значение $ f(x)\in\mathbb{Z}$ принимается ровно по одному разу, а каждое нецелое значение $ f(x)\in\mathbb{R}\diagdown \mathbb{Z}$ -- ровно по два раза.

д) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ f$ -- сюръекция и каждое целое значение $ f(x)\in\mathbb{Z}$ принимается ровно по два раза, а каждое нецелое значение $ f(x)\in\mathbb{R}\diagdown \mathbb{Z}$ -- ровно по одному разу.

е) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ f$ принимает все вещественные значения, кроме целых чётных, и каждое целое нечётное значение принимается ровно по два раза, а каждое нецелое значение -- ровно по одному разу.     

Наверх: Функции и их графики
Вперед: Пределы

Физика лабы
краны шаровые
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры