Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Упражнения

        Упражнение 1.6   Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.     

        Упражнение 1.7   Вспомните материал школьного курса математики и постройте графики следующих функций. Найдите области определения и области значений этих функций.

а) $ f(x)=\sin 2x$;


б) $ f(x)=\cos x+3$;


в) $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2})$;


г) $ f(x)=x^2+4x+5$;


д) $ f(x)=x^3+1$;


е) $ f(x)=\sqrt[5]{x}$;


ж) $ f(x)=\arcsin x+\frac{\pi}{2}$;


з) $ f(x)=\arccos x-\frac{\pi}{2}$;


и) $ f(x)=3^{x-2}$;


к) $ f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$;


л) $ f(x)=\log_2(x-1)$;


м) $ f(x)=2^{3x-1}$;


н) $ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$.


Ответы:

а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;

б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\;\mathcal{E}(f)=[2;4]$;

в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\pi+2k\pi\},\;\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[1;+\infty)$;

д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

ж) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[0;\pi]$;

з) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;

и) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;

к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\}$;

л) $ \mathcal{D}(f)=(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

м) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;

н) $ \mathcal{D}(f)=(-1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$.     

        Упражнение 1.8   Найдите области определения и области значений следующих функций:

а) $ f(x)=-x^2+6x-5$;

б) $ f(x)=\cos2x+3\sin2x$;

в) $ f(x)=\dfrac{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}$;

г) $ f(x)=\dfrac{1-\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}$;

д) $ f(x)=x+\dfrac{1}{x}$;

е) $ f(x)=\sin(\arcsin x)$;

ж) $ f(x)=\arcsin(\sin x)$;

з) $ f(x)=2^{\log_2x}$;

и) $ f(x)=(\sqrt{x})^2$;

к) $ f(x)=\sqrt{x^2}$;

л) $ f(x)=\sqrt{-x^2}$;

м) $ f(x)=\sqrt{4-x^2}$.

Какие из этих функций из области $ \mathcal{D}(f)$ в область $ \mathcal{E}(f)$ являются биекциями?

Ответы:

Биекциями являются функции пп. е), з), и), л), пpичём все эти четыpе функции -- тождественные отобpажения:

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathcal{E}(f); f=f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits : \mathcal{D}(f)\to\mathcal{D}(f)$

пpи соответствующих областях $ \mathcal{D}(f)$. Все остальные функции -- не биекции.

а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;4)$;

б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\sqrt{10};\sqrt{10}]$;

в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ (заметим, что $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits 2x$ пpи $ x\in\mathcal{D}(f)$.

г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{k\pi}{2}\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$;

е) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;

ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;

з) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;

и) $ \mathcal{D}(f)=[0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;

к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;

л) $ \mathcal{D}(f)=\{0\},\; \mathcal{E}(f)=\{0\}$;

м) $ \mathcal{D}(f)=[-2;2],\; \mathcal{E}(f)=[0;2]$.     

        Упражнение 1.9   Постройте графики функций:

а) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x,&\mbox{ при }x<0,\\ -x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}


б) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt[3]{x},&\mbox{ при }x<0,\\ x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}


в) $ f(x)=\ln\vert x\vert$;


г) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x+1\vert,&\mbox{... ...1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0,\ x\ne1; \end{array} \right.\end{displaymath}


д) \begin{displaymath}f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \log_2\vert x-1\vert,&\mbox{... ...\vert x+1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0; \end{array} \right.\end{displaymath}


е) $ f(x)=\max\limits_{z\in[x-1;x+1]}(z^3-3z)$;


ж) $ f(x)=\log_{\vert x\vert}\dfrac{1}{2}$;


з) $ f(x)=\log_{\frac{1}{x}}x$; p class=pic>


и) $ f(x)=2^{\vert\log_2x\vert+1}$.

Найдите области опpеделения и области значений этих функций. Какие из этих функций $ f: \mathcal{D}(f)\to\mathcal{E}(f)$ являются биекциями? Если $ f$ -- биекция, найдите обратную функцию $ f^{-1}$ и постройте её график.

Ответы:

Биекцией является только функция п. б), пpи этом $ f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^3,&\mbox{ пpи }x<0;\\ \sqrt[3]{x},&\mbox{ пpи }x\geqslant 0. \end{array}\right.$

а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;0]$;

б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;

е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;0;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$;

з) $ \mathcal{D}(f)=(0;1)\cup(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\{1\}$;

и) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[2;+\infty)$.     

        Упражнение 1.10   Последовательность $ {f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}}$ задана формулой $ {f(n)=n^2-3n+5}$. Найдите такие числа $ a$ и $ b$, что для любого $ n\in\mathbb{N}$, $ n\geqslant 3$, выполняется рекуррентная формула $ f(n)=af(n-1)+bf(n-2)$.     

        Упражнение 1.11   Последовательность $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ задана рекуррентной формулой $ f(n)=3f(n-1)-2f(n-2)$ при $ n\geqslant 3$, причем $ f(1)=1$, $ f(2)=1$. Найдите такие числа $ a$ и $ b$, что при всех $ n\in\mathbb{N}$ выполняется формула $ f(n)=n^2+an+b$.     

        Упражнение 1.12   Пусть первые члены последовательности $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ таковы: $ f(1)=5$, $ f(2)=1$, $ f(3)=0$. Найти такие формулы, что $ f(n)$ равняется заданным числам при n=1,2,3, причем при некоторых $ a,b,c,d$ формула имеет вид:

а) $ f(n)=an^2+bn+c$;

б) $ f(n)=\dfrac{a}{n}+bn+c$;

в) $ f(n)=\dfrac{an+b}{cn+d}$;

г) $ f(n)=an^4+bn^2+c$.     

        Упражнение 1.13   Приведите примеры и постройте графики функций, обладающих следующими свойствами:

а) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\diagdown \{0\}$, причем $ f$ -- биекция;

б) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ и каждое своё значение $ f(x)=y$ функция принимает ровно по два раза, то есть для любого $ y\in\mathbb{R}$ существуют ровно две точки $ x_1=x_1(y)$ и $ x_2=x_2(y)$ ($ x_1<x_2$), такие что $ f(x_1)=f(x_2)=y$;

в) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\diagdown \mathbb{Z}$, причем $ f$ -- биекция;

г) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ f$ -- сюръекция и каждое целое значение $ f(x)\in\mathbb{Z}$ принимается ровно по одному разу, а каждое нецелое значение $ f(x)\in\mathbb{R}\diagdown \mathbb{Z}$ -- ровно по два раза.

д) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ f$ -- сюръекция и каждое целое значение $ f(x)\in\mathbb{Z}$ принимается ровно по два раза, а каждое нецелое значение $ f(x)\in\mathbb{R}\diagdown \mathbb{Z}$ -- ровно по одному разу.

е) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ f$ принимает все вещественные значения, кроме целых чётных, и каждое целое нечётное значение принимается ровно по два раза, а каждое нецелое значение -- ровно по одному разу.     

Определите новую частоту сэмплирования, используя параметр New sample rate (2.000 to 192.000 Hz).

Совет 

Если вы повысите частоту сэмплирования вашего файла, это не повлечет улучшения его качества. Например, если у вас был звуковой файл с частотой сэмплирования 22 кГц, а вы повысили частоту до 44,1 кГц (чтобы записать этот файл на компакт-диск), он все равно будет звучать как 22-килогерцевый, поскольку именно с этой частотой он был записан. Но есть, по крайней мере, один плюс, связанный с повышением частоты сэмплирования файла — в результате этого увеличится разрешение файла и дальнейшие его редактирование и обработка не приведут к появлению шумов. Например, если вы хотите отредактировать 22-килогерцевый звуковой файл, не помешает повысить его частоту сэмплирования. С другой стороны, если вы понизите частоту сэмплирования звукового файла, это понизит его качество, поэтому, если вы все-таки решили это сделать, не забудьте создать резервную копию оригинала. Например, если у вас есть 48-килогерцевый звуковой файл и вы хотите снизить его частоту сэмплирования до 44,1 кГц, чтобы иметь возможность записать его на компакт-диск, обязательно сохраните копию версии с частотой 48 кГц для последующего редактирования и обработки. Механические приложения
двойного интеграла

3. Выберите значение параметра Interpolation accuracy (I to 4). Он позволяет определить точность процесса преобразования частоты сэмплирования. Низкое значение означает быструю, но менее точную обработку. Высокое значение подразумевает более медленную, но более точную обработку. Если длина вашего файла не очень велика, стоит выбрать значение, равное 4.

4. Если вы понижаете частоту сэмплирования, обязательно установите флажок Apply an anti-alias filter during resample. Это исключает возможность преобразования высокочастотных данных на входе в шумы на выходе, т. е. при применении более низкой частоты сэмплирования.

5. Если вы хотите, не внося изменения в данные, просто изменить скорость воспроизведения, установите флажок Set the sample rate only (do not re-sample). Использование этой функции повлечет за собой также изменение высоты тона. Ее стоит использовать, если кто-нибудь дал вам файл с неправильной скоростью воспроизведения.

6. Нажмите на кнопку Preview, чтобы услышать, как звучит файл, до того, как программа Sound Forge произведет в нем фактические изменения.

7. Нажмите на кнопку ОК.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике