Назад Пределы
Наверх: Пределы
Вперед: Общее определение предела

Untitled Document

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

        Определение 2.1   Предел функции при $ x\rightarrow x_0$.

Пусть $ y=f(x)$ -- это функция вещественного переменного $ x$, определённая во всех точках интервала $ (a;b)$, кроме, быть может, точки $ x_0\in(a;b)$. Дадим определение предела величины $ y$ при условии, что $ x$ стремится к точке $ x_0$. Это условие кратко обозначается $ x\rightarrow x_0$. Стремление $ x$ к $ x_0$ означает, что при своём изменении $ x$ оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку $ x_0$, но не совпадает с $ x_0$, то есть значение $ \vert x-x_0\vert$ становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие $ x$ значения $ y=f(x)$ становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу $ y_0$, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа $ y_0$ можно указать, насколько близко $ x$ должен подойти к $ x_0$, чтобы значения $ y=f(x)$ уже попадали в эту окрестность числа $ y_0$. Тогда число $ y_0$ есть предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow x_0$, что записывается так:

$\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).$

Рис.2.1.Предел при $ x\to x_0$


Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки $ y_0$ (симметричная относительно $ y_0$) характеризуется её полушириной $ {\varepsilon}>0$, то есть имеет вид интервала $ (y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})$. Если значение $ y$ попало в такую $ {\varepsilon}$-окрестность, то это означает, что $ \vert y-y_0\vert<{\varepsilon}$. Любая окрестность точки $ x_0$, не содержащая самой точки $ x_0$ (и симметричная относительно $ x_0$), -- это объединение двух смежных интервалов3 $ {(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}$. Попадание точки $ x$ в эту окрестность означает, что выполнено неравенство $ \vert x-x_0\vert<{\delta}$ и $ x\ne x_0$. Равенство $ y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое число $ {\delta}>0$ (зависящее от $ {\varepsilon}$), что при $ \vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0$ будет $ \vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}$.

При этом число $ y_0$ называется пределом функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow x_0$. Тот факт, что $ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде

$\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.$

    

        Пример 2.1   Пусть $ x_0=0$ и рассматривается функция $ f(x)=2\sin x+1$. Покажем, что

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$

Для этого фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$, задающее окрестность $ (1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})$, и выясним, при каких $ x$ значения функции $ f(x)$ будут попадать в эту окрестность точки 1.

Рис.2.2.График $ y=2\sin x+1$


Попадание значений $ f(x)$ в окрестность $ (1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})$ означает, что выполняется неравенство $ {\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}$, то есть $ {\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки $ {x_0=0}$. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при $ {\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$. Таким образом, если взять $ {{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$ (это число больше 0), то при $ {x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}$ будет выполнено неравенство $ {\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}$, что и означает, что предел равен числу 1: $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1$, или $ {2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}$.    

Рассмотрим теперь другой важный случай предела.

        Определение 2.2   Предел последовательности при $ n\rightarrow \infty$.

Пусть дана бесконечная последовательность $ \{y_n\}$ чисел, занумерованных по порядку:

$\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .$

(Эту последовательность можно рассматривать как функцию $ f(n)=y_n$, определённую при всех натуральных значениях аргумента $ n$.) Дадим определение предела последовательности $ \{y_n\}$ при условии, что номер $ n$ неограниченно растёт (это условие обозначается $ n\rightarrow \infty$). Стремление $ n$ к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа $ N\in\mathbb{N}$, то есть начинает выполняться неравенство $ n>N$. Если при этом числа $ y_n$ становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу $ L$, то это число -- предел последовательности, что записывается так:

$\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.$

Рис.2.3.Последовательность и её предел


Формализуем сказанное. Множества чисел $ n$, заданные условиями $ n>N$, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство $ L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n$ означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое число $ N$ (зависящее от $ {\varepsilon}$), что при $ n>N$ (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство $ \vert y_n-L\vert<{\varepsilon}$.

При этом число $ L$ называется пределом последовательности $ \{y_n\}$ при условии $ {n\rightarrow \infty}$. Тот факт, что $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L$, записывают также в виде

$\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.$

    

        Пример 2.2   Покажем, что предел последовательности $ y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

Рис.2.4.Последовательность $ \dfrac{1}{n^2}$


Фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и подберём число $ N$ в зависимости от $ {\varepsilon}$ так, чтобы при $ n>N$ выполнялось неравенство $ \vert y_n-0\vert<{\varepsilon}$, то есть $ \dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}$. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при $ n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}$. Значит, достаточно выбрать в качестве $ N$ натуральное число, ближайшее к $ \dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}$ справа на вещественной оси4, то есть $ N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil$, и тогда при любом $ n>N$ неравенство $ \dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}$ будет верным. Это означает, что

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,$

или $ \dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0$.    

Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.

        Определение 2.3   Предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow +\infty$.

Определим окрестности бесконечности как множества точек $ x$, заданные неравенствами $ x>a$, то есть лучи $ (a;+\infty)$. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности $ (y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})$ точки $ y_0$ можно было найти такую окрестность бесконечности $ (a_{{\varepsilon}};+\infty)$, что при попадании $ x$ в эту окрестность, то есть при $ x>a_{{\varepsilon}}$, соответствующее значение $ y=f(x)$ попадает в заданную вначале окрестность точки $ y_0$, то есть выполняется неравенство $ \vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}$. Выполнение этого требования будет означать, что $ y_0$ -- предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow +\infty$, то есть

$\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

Рис.2.5.Предел при $ x\to+\infty$


Тот факт, что $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде

$\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.$

    

        Пример 2.3   Покажем, что предел функции $ f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ при $ x\to+\infty$ равен числу 3.

Рис.2.6.График функции $ y=\dfrac{3x-2}{x+1}$


Фиксируем $ {\varepsilon}>0$ и подберём по этому числу $ {\varepsilon}$ такое число $ a$, что при любом $ x>a$ выполняется неравенство

$\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.$

Сразу будем считать, что $ a$ -- неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде $ \left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}$ или $ \vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$. Так как $ x>a\geqslant 0$, то $ x+1>0$ и неравенство имеет вид $ x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$, откуда $ x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$. Если теперь взять число $ a_{{\varepsilon}}$ равным $ \dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$ (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при $ x>a_{{\varepsilon}}$ будет выполняться неравенство $ \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}$; это означает, что

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,$

или $ \dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3$.    

        Упражнение 2.1   Опираясь на свою интуицию и здравый смысл, сформулируйте определение предела функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow -\infty$. Для этого ответьте на предварительный вопрос: какие множества естественно назвать окрестностями $ -\infty$?

Рис.2.7.Предел при $ x\to-\infty$


Пользуясь этим определением, покажите, что $ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{3x+2}{2x-5}=\dfrac{3}{2}$.    

Назад Пределы
Наверх: Пределы

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры