Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Уравнение плоскости

Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

        Определение 11.2   Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.         

        Замечание 11.1   Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.         

Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.

        Теорема 11.1   Пусть вектор $ {\bf n}=(A,B,C),\quad{\bf n}\ne0,$ является нормальным вектором плоскости $ \Pi$ , проходящей через точку $ M_0(x_0,y_0,z_0)$ . Тогда уравнение

$\displaystyle A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$(11.1)

является уравнением плоскости $ \Pi$ .

        Доказательство.     Пусть $ M(x,y,z)$  -- некоторая точка плоскости $ \Pi$ (рис. 11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.




Рис.11.1.


Вектор $ \overrightarrow {M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ лежит на плоскости $ \Pi$ . Следовательно, вектор $ \overrightarrow {M_0M}$ ортогонален вектору n. Если же взять точку $ Q$ , не лежащую на плоскости $ \Pi$ , то вектор $ \overrightarrow {M_0Q}$ не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка $ M$ лежит в плоскости $ \Pi$ , является выполнение равенства

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {M_0M}=0.$(11.2)

Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле (10.1), получим формулу (11.1).     

Пусть r -- радиус-вектор текущей точки $ M$ плоскости $ \Pi$ , $ {\bf r}_0$  -- радиус-вектор точки $ M_0$ . Тогда уравнение (11.2) можно переписать в виде

 

$\displaystyle {\bf n}\cdot({\bf r}-{\bf r}_0)=0.$

Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости $ \Pi$ .

Раскроем скобки в уравнении (11.1). Так как точка $ M_0$  -- фиксированная, то выражение $ -Ax_0-By_0-Cz_0$ является числом, которое обозначим буквой $ D$ . Тогда уравнение (11.1) принимает вид

$\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.$(11.3)

Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов $ A,\,B,\,C$ отличен от нуля, так как $ {\bf n}\ne0$ .

Верно и обратное утверждение:

        Теорема 11.2   Всякое уравнение (11.3), в котором $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору $ {\bf n}=(A,B,C)$ .

        Доказательство.     Условие $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ означает, что хотя бы одно из чисел $ A,\,B,\,C$ , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число $ B$ . Преобразуем уравнение (11.3) следующим образом:

 

$\displaystyle A(x-0)+B\left(y-\left(-\frac DB\right)\right)-C(z-0)=0.$

По теореме 11.1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку $ M_0\left(0;-\frac DB; 0\right)$ .     

Теорема 11.1 позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.

        Пример 11.1   Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку $ M_0(1,2,-2)$ и параллельной векторам $ {\bf p}=(1;2;-1)$ и $ {\bf q}=(-2;0;3)$ .

Решение. Векторное произведение $ {\bf p}\times {\bf q}$ по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор $ {{\bf n}={\bf p}\times {\bf q}}$ можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:

 

$\displaystyle {\bf n}={\bf p}\times {\bf q}=\left\vert\begin{array}{rrr}{\bf i}... ...j}&{\bf k}\\ 1&2&-1\\ -2&0&3\end{array}\right\vert= 6{\bf i}-{\bf j}+4{\bf k},$

то есть $ {\bf n}=(6;-1;4)$ . Используя формулу (11.1), получим

 

$\displaystyle 6(x-1)+(-1)(y-2)+4(z-(-2))=0.$

Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.

Ответ: $ 6x-y+4z+4=0$ .    

Определите новую частоту сэмплирования, используя параметр New sample rate (2.000 to 192.000 Hz).

Совет 

Если вы повысите частоту сэмплирования вашего файла, это не повлечет улучшения его качества. Например, если у вас был звуковой файл с частотой сэмплирования 22 кГц, а вы повысили частоту до 44,1 кГц (чтобы записать этот файл на компакт-диск), он все равно будет звучать как 22-килогерцевый, поскольку именно с этой частотой он был записан. Но есть, по крайней мере, один плюс, связанный с повышением частоты сэмплирования файла — в результате этого увеличится разрешение файла и дальнейшие его редактирование и обработка не приведут к появлению шумов. Например, если вы хотите отредактировать 22-килогерцевый звуковой файл, не помешает повысить его частоту сэмплирования. С другой стороны, если вы понизите частоту сэмплирования звукового файла, это понизит его качество, поэтому, если вы все-таки решили это сделать, не забудьте создать резервную копию оригинала. Например, если у вас есть 48-килогерцевый звуковой файл и вы хотите снизить его частоту сэмплирования до 44,1 кГц, чтобы иметь возможность записать его на компакт-диск, обязательно сохраните копию версии с частотой 48 кГц для последующего редактирования и обработки. Механические приложения
двойного интеграла

3. Выберите значение параметра Interpolation accuracy (I to 4). Он позволяет определить точность процесса преобразования частоты сэмплирования. Низкое значение означает быструю, но менее точную обработку. Высокое значение подразумевает более медленную, но более точную обработку. Если длина вашего файла не очень велика, стоит выбрать значение, равное 4.

4. Если вы понижаете частоту сэмплирования, обязательно установите флажок Apply an anti-alias filter during resample. Это исключает возможность преобразования высокочастотных данных на входе в шумы на выходе, т. е. при применении более низкой частоты сэмплирования.

5. Если вы хотите, не внося изменения в данные, просто изменить скорость воспроизведения, установите флажок Set the sample rate only (do not re-sample). Использование этой функции повлечет за собой также изменение высоты тона. Ее стоит использовать, если кто-нибудь дал вам файл с неправильной скоростью воспроизведения.

6. Нажмите на кнопку Preview, чтобы услышать, как звучит файл, до того, как программа Sound Forge произведет в нем фактические изменения.

7. Нажмите на кнопку ОК.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике