Назад Общее определение предела
 Наверх: Пределы
Вперед: Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Untitled Document

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить

$\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^2x+2\sin x+1}{\sin^2x-\sin x+2}.$

Тогда естественно с целью упрощения сделать замену $ s=\sin x$: при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид $ f(s)=\dfrac{s^2+2s+1}{s^2-s+2}$. Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо $ x\to-\frac{\pi}{2}$ под знаком предела от функции $ f(s)$?

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть (например, для упрощения выражения) предлагается сделать некоторую замену $ t={\varphi}(x)$, при этом исходный предел вычислялся при базе $ \mathcal{B}$, состоящей из некоторых окончаний $ E$. Тогда база множеств, которым принадлежит параметр $ t$, будет состоять из образов окончаний $ E$ при отображении их функцией $ {\varphi}(x)$: надо посмотреть, куда перейдёт произвольное окончание старой базы при действии функции $ {\varphi}$. Получится набор множеств $ {\varphi}(\mathcal{B})=\{{\varphi}(E)\}=\mathcal{B}'$, где множества $ {\varphi}(E)$ состоят из всех таких точек $ t$, что $ t={\varphi}(x)$ при некотором $ x\in E$.

Рис.2.12.Преобразование базы $ x\to x_0$ под действием функции $ {\varphi}(x)$


        Теорема 2.2   Пусть $ \mathcal{B}$ -- некоторая база и $ {\varphi}(x)$ -- некоторая функция, определённая на каком-нибудь окончании базы $ \mathcal{B}$. Тогда множество $ \mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$ -- это тоже база.

        Доказательство.     Во-первых, все множества $ E'={\varphi}(E)$ не пусты, так как не пусты множества $ E$: если $ x\in E$, то $ E'$ содержит, по крайней мере, точку $ {\varphi}(x)$. Осталось показать, во-вторых, что если $ E_1'={\varphi}(E_1)$ и $ E_2'={\varphi}(E_2)$ (где $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$) -- два множества из $ \mathcal{B}'$, то найдётся такое множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$ ( $ E_3\in\mathcal{B}$), что $ E_3'\sbs E_1'\cap E_2'$. Множество $ E_1'\cap E_2'={\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)$, по определению, состоит из всех точек $ {\varphi}(x)$, где $ x\in E_1$ и $ x\in E_2$ одновременно, то есть $ x\in E_1\cap E_2$. Рассмотрим теперь некоторое окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$ (такое окончание найдётся, по определению базы $ \mathcal{B}$) и соответствующее множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$. Тогда все значения $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_3$ будут среди значений $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_2\cap E_3$, то есть $ {\varphi}(E_3)=E_3'\sbs{\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)=E_1'\cap E_2'$, что и требовалось показать.     

Иногда получается, что если $ \mathcal{B}$ -- одна из знакомых нам рассмотренных выше баз, то и $ {\varphi}(\mathcal{B})=\mathcal{B}'$ -- это тоже база известного типа.

        Пример 2.5   Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=3x-2$, где $ x\to2$. Здравый смысл подсказывает нам, что если $ x$ приближается к 2 и $ t=3x-2$, то значения $ t$ будут приближаться к $ 3\cdot2-2=4$, то есть база $ x\to2$ при такой замене переходит в базу $ t\to4$. Это, конечно, верный результат; но не всё так просто, как покажут нам следующие два примера.

Рис.2.13.Преобразование базы $ x\to2$ при замене $ t=3x-2$


Пока что проверим формально результат, полученный нами с помощью интуитивных представлений о "стремлении". Пусть $ E_{{\delta}}=(2-{\delta};2+{\delta})\diagdown \{2\}$ -- это произвольное окончание базы $ x\to2$. Посмотрим, во что это множество перейдёт при действии функции $ {\varphi}(x)=3x-2$. Поскольку эта линейная функция возрастает (её угловой коэффициент 3 положителен), то точки $ t=3x-2$ будут лежать между теми, в которые переходят концы интервала, то есть между $ {t_1={\varphi}(2-{\delta})=3(2-{\delta})-2=4-3{\delta}}$ и $ {t_2={\varphi}(2+{\delta})=3(2+{\delta})-2=4+3{\delta}}$, и не будут совпадать с $ {t_0={\varphi}(2)=4}$. Тем самым получили, что $ {{\varphi}(E_{{\delta}})=(4-3{\delta};4+3{\delta})\diagdown \{4\}}$. При произвольном $ {{\delta}>0}$ получаем произвольную проколотую окрестность точки 4 с полушириной : $ {{\varphi}(E_{{\delta}})=E'_{{\delta}'}}$. Очевидно, что набор множеств $ E'_{{\delta}'}$ -- это база $ {t\to4}$, как мы и предполагали, исходя из интуитивных соображений.    

        Пример 2.6   Пусть производится замена $ t=x^2$ и $ x\to0$. Рассуждая, как в предыдущем примере, получаем, что, наверное, $ t$ тоже стремится к 0, то есть нужно рассматривать базу $ t\to0$. Это, однако, не вполне верно. Следующий чертёж показывает, что образами окончаний $ E_{{\delta}}=(-{\delta};{\delta})\diagdown \{0\}$ базы $ x\to0$ служат не проколотые окрестности точки $ t=0$ (являющиеся окончаниями базы $ t\to0$), а интервалы $ E'=(0,{\delta}')$, где $ {\delta}'={\delta}^2$, примыкающие на оси $ t$ (если её расположить горизонтально) справа к точке $ t=0$.

Рис.2.14.График $ t=x^2$ и преобразование базы $ x\to0$ в базу $ t\to0+$


Набор таких интервалов образует правостороннюю базу $ t\to0+$, а не двустороннюю базу $ t\to0$, как мы поторопились предположить. В некоторых примерах разница между этими базами может быть существенной при вычислении предела.

(Ниже мы рассмотрим предел $ \lim\limits_{x\to0}x^2e^{-\frac{1}{x^2}}$, в котором эта разница существенна.)    

        Пример 2.7   Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $ x\to1$. Интуитивно ясно, что когда $ x$ приближается к 1, то и $ t=x^2$ тоже будет приближаться к 1, причём "ловушки" предыдущего примера здесь нет: так как при $ x\geqslant 0$ функция $ x^2$ возрастает, то при $ x<1$ и близких к 1 будет получаться $ t<1$, близкое к 1, а при $ x>1$ и близких к 1 будет получаться $ t>1$, близкое к 1. Поэтому должна бы, вроде, при такой замене получиться база $ t\to1$. Однако и это не вполне так. Глядя на следующий чертёж, можно заметить, что образ окончания $ (1-{\delta};1+{\delta})\diagdown \{1\}$ -- это множество

$\displaystyle ((1-{\delta})^2;(1+{\delta})^2)\diagdown \{1\}=(1-2{\delta}+{\delta}^2;1)\cup(1;1+2{\delta}+{\delta}^2).$

Эти два интервала, примыкающие к точке 1 слева и справа, имеют разную длину: левый имеет длину $ 2{\delta}-{\delta}^2$, а правый -- длину $ 2{\delta}+{\delta}^2$, то есть левый короче правого на $ 2{\delta}^2$.

Рис.2.15.График $ t=x^2$ и преобразование базы $ x\to1$


Однако по определению базы $ t\to1$ окончания этой базы состоят из пары примыкающих к точке 1 симметричных интервалов! Так что формально получилась не база $ t\to1$, а нечто на неё похожее, но не совсем то же самое.    

На самом деле получившаяся в этом примере после замены база $ \mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$ эквивалентна базе $ t\to1$ в смысле следующего определения.

        Определение 2.8   Две базы $ \mathcal{B}$ и $ \mathcal{B}'$ назовём эквивалентными, если в любом окончании $ {E\in\mathcal{B}}$ содержится некоторое окончание $ {E'\in\mathcal{B}'}$, и наоборот, в любом окончании $ {E'\in\mathcal{B}'}$ содержится некоторое окончание $ {E''\in\mathcal{B}}$.    

Базы $ {\mathcal{B}=\{t\to1\}}$ и $ {\mathcal{B}'={\varphi}(x\to1)}$, рассмотренные в предыдущем примере, эквивалентны, так как любое несимметричное окончание базы $ \mathcal{B}'$, имеющее, как мы выяснили, вид $ {E'=(1-2{\delta}+{\delta}^2;1)\cup(1;1+2{\delta}+{\delta}^2)}$, содержится в симметричном окончании $ {E=(1-2{\delta}-{\delta}^2;1)\cup(1;1+2{\delta}+{\delta}^2)}$ и содержит симметричное окончание $ {E''=(1-2{\delta}+{\delta}^2;1)\cup(1;1+2{\delta}-{\delta}^2)}$ базы $ \mathcal{B}$.

Пределы, вычисленные по эквивалентным базам, совпадают, так что эквивалентные базы нет смысла отличать друг от друга. В этом мы убедимся, доказав следующую теорему.

        Теорема 2.3   Пусть $ \mathcal{B}$ и $ \mathcal{B}'$ -- две эквивалентные базы, и существует $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$. Тогда предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}'}f(x)=L'}$ тоже существует, и $ L'=L$.

        Доказательство.     Пусть фиксировано число $ {\varepsilon}>0$. Так как по предположению теоремы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, то для этого $ {\varepsilon}$ можно указать такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, при любом $ x$ из которого будет $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$. Поскольку база $ \mathcal{B}'$ эквивалентна базе $ \mathcal{B}$, найдётся окончание $ E'\in\mathcal{B}'$, такое что $ E'\sbs E$; следовательно, $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ при любом $ x\in E'$. Значит, $ \lim\limits_{\mathcal{B}'}f(x)=L$, что и требовалось доказать.     

Итак, вычисление пределов по эквивалентным базам даёт один и тот же результат, и в дальнейшем мы не будем различать эквивалентные базы, в том числе и при их обозначении. В частности, все базы, эквивалентные введённой выше базе $ x\to x_0$, мы будем тоже обозначать $ x\to x_0$, все базы, эквивалентные введённой выше базе $ n\to\infty$, -- обозначать $ n\to\infty$, и т. п.
Наверх: Пределы

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры