В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.
Доказательство.
Равенство
означает, в соответствии с теоремой
2.4, что величина
--
бесконечно малая; равенство
--
что
--
бесконечно малая. Поэтому по теореме
2.5 сумма
Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.
Доказательство.
Равенство
означает, в соответствии с теоремой
2.4, что величина
--
бесконечно малая; равенство
--
что
--
бесконечно малая. Поэтому
и
,
откуда
при Так что из несуществования предела у какого-нибудь сомножителя не следует несуществование предела произведения.
Доказательство.
Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру
2.4,
,
и применить теорему
2.9.
Доказанное следствие означает, что постоянный
множитель
можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами,
умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.
Доказательство.
Оно состоит в последовательном
-кратном
применении теоремы
2.8 к слагаемым
,
предел которых, согласно предыдущему следствию, равен
.
В качестве частного случая можно рассмотреть
предел разности двух функций. Разность
можно представить в виде
и применить следствие
2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что
Предел отношения двух функций
,
в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов
числителя
и знаменателя
,
даже если пределы
и
существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение
пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения
при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример:
не имеет смысла. При этом
при
.
Оказывается, условия
,
которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл, -- этого условия
достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их
пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное
утверждение.
определена на некотором окончании этой базы и локально ограничена при этой базе.
Доказательство.
Возьмём положительное число
.
По определению предела, в базе
найдётся такое окончание
,
что при всех
будет
.
Это неравенство можно привести к виду
![]() | (2.2) |
При
это неравенство означает, что
;
так как
,
то и
при всех
и, следовательно, функция
определена во всех точках окончания
и удовлетворяет неравенству
;
так как
,
то и
определена во всех точках окончания
,
что означает локальную ограниченность функции На основе этой леммы мы докажем обещанное выше утверждение о пределе отношения.
определена на некотором окончании базы
,
то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя. Доказательство.
Представим отношение
в виде
,
в котором и первый, и второй множители определены на некотором окончании
базы
(относительно второго множителя см. предыдущую лемму). Поэтому и исходное
отношение имеет смысл при всех
.
Утверждение о том, что
,
эквивалентно тому, что разность
--
бесконечно малая величина. Приводя эту разность к общему знаменателю, получим,
что
.
Величина
--
постоянная и, следовательно (см. пример
2.11), локально ограничена; функция
--
тоже локально ограничена при базе
(по предыдущей лемме). Значит, с учётом предложения
2.1 и теоремы
2.7, будет доказано, что величина
бесконечно малая, если мы покажем, что бесконечно мала при базе
величина
.
Найдём предел этой величины. По свойству линейности предела ( следствие
2.5)
![]() |
Итак,
Заметим, что предел отношения
многочленов оказался равен отношению коэффициентов при старшей степени
,
то есть, в данном случае, при
.
Аналогично решаются и другие примеры на вычисление пределов отношения двух
многочленов при
,
а также пределов отношения некоторых других функций, например, связанных с корнями
из многочленов.
Ответ:
;
;
.
Указания: поделите числитель и знаменатель дроби в первом примере на
,
во втором -- на
и в третьем -- на
.
Во втором примере воспользуйтесь тем, что
и
--
величины, ограниченные при всех
(и, следовательно, локально ограниченные при любой базе).
Доказательство.
Согласно определению предела, для любого
найдутся такие окончания базы
и
,
что при
выполняется неравенство

(Происхождение названия теоремы таково: пусть график функции
--
это траектория движения первого милиционера в участок, график
--
второго милиционера туда же, а график
--
траектория движения нетрезвого гражданина, находящегося, в соответствии с неравенством
Доказательство.
Если бы предел
был отрицательным, то можно было бы взять
и найти такое окончание базы
,
что при
выполняется неравенство
,
откуда
.
Это же будет выполнено на некотором окончании
,
что противоречит предположению, что
при всех
.
Противоречие доказывает, что отрицательным предел
быть не может, то есть
.
Доказательство.
Для доказательства достаточно взять функцию
,
применить к ней доказанную только что теорему и воспользоваться тем, что знак
минус можно вынести за знак предела (по свойству линейности предела).
Доказательство.
Рассмотрим функцию
.
По условию теоремы,
,
причём

Напомним, что функция
называется не убывающей на множестве
,
если для любых
,
таких что
,
выполняется неравенство
,
и не возрастающей на
,
если при
и
выполняется неравенство
.

Доказательство
этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах
системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества
чисел
,
где числа
ограничивают функцию
сверху, существует точная нижняя грань
;
она-то и будет пределом неубывающей функции.
Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.
Имеют место также утверждения, получающиеся
из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты
:



| Физика лабы | ||||||||
| строительство бассейнов на открытом участке, депозиты проценты в Москоммерцбанке | ||||||||
| ||||||||