Наверх: Пределы

Untitled Document

Общие свойства пределов

В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

        Теорема 2.8   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе  $ \mathcal{B}$:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$

Тогда функция $ h(x)=f(x)+g(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, и этот предел $ L$ равен сумме пределов слагаемых:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)+\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1+L_2=L.$

        Доказательство.     Равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L_1$ -- бесконечно малая; равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$ -- что $ {\beta}(x)=g(x)-L_2$ -- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма

$\displaystyle {\alpha}(x)+{\beta}(x)=(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)=h(x)-L$

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность $ h(x)-L$ бесконечно мала, означает, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$; это и требовалось доказать.     

        Замечание 2.2   В доказанной теореме не утверждается, что если существует предел суммы, то существуют и пределы слагаемых. Это неверно, что показывает простейший пример: пусть $ f(x)=x$ и $ g(x)=-x$. Тогда $ f(x)+g(x)=0$ и предел $ \lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)+g(x))=0$, в то время как пределы при $ x\to\pm\infty$ функций $ f(x)$ и $ g(x)$ не существуют.

Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.     

        Теорема 2.9   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе  $ \mathcal{B}$:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$

Тогда функция $ h(x)=f(x)g(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, и этот предел $ L$ равен произведению пределов сомножителей:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)\cdot\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1L_2=L.$

        Доказательство.     Равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L_1$ -- бесконечно малая; равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$ -- что $ {\beta}(x)=g(x)-L_2$ -- бесконечно малая. Поэтому $ f(x)=L_1+{\alpha}(x)$ и $ g(x)=L_2+{\beta}(x)$, откуда

$\displaystyle f(x)g(x)=(L_1+{\alpha}(x))(L_2+{\beta}(x))=L_1L_2+L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x)$

или

$\displaystyle f(x)g(x)-L_1L_2=L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x).$

Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина $ L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)$ -- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина $ {\alpha}(x){\beta}(x)$ -- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина $ {\beta}(x)$ имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией $ h(x)=f(x)g(x)$ и постоянной $ L=L_1L_2$ бесконечно мала при базе $ \mathcal{B}$, то по теореме 2.4 $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$; это и требовалось доказать.     

        Замечание 2.3   Сделаем замечание, аналогичное замечанию 2.2: если существует предел произведения, то отсюда не следует, что существуют пределы каждого из сомножителей; доказанная теорема этого не утверждает. Приведём пример, который был уже разобран выше: функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}\cdot\sin x$ при $ x\to\pm\infty$ имеет предел, равный 0, однако предела $ \sin x$ при $ x\to\pm\infty$ не существует (хотя другой множитель, $ \dfrac{1}{x}$, имеет предел при этой базе).

Так что из несуществования предела у какого-нибудь сомножителя не следует несуществование предела произведения.     

        Следствие 2.4   Пусть $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ и $ C=\mathrm{const}$ (то есть $ C$ -- постоянная величина). Тогда существует предел функции $ Cf(x)$, равный $ CL$:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}Cf(x)=CL.$

        Доказательство.     Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру 2.4, $ \lim\limits_{\mathcal{B}}C=C$, и применить теорему 2.9.     

Доказанное следствие означает, что постоянный множитель $ C$ можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами, умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.

        Следствие 2.5   Пусть функции $ f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)$ имеют при базе $ \mathcal{B}$ пределы, равные соответственно $ L_1,L_2,\dots,L_n$, и $ C_1,C_2,\dots,C_n$ -- постоянные. Тогда

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}(C_1f_1(x)+C_2f_2(x)+\ldots+C_nf_n(x))= C_1L_1+C_2L_2+\ldots+C_nL_n.$

        Доказательство.     Оно состоит в последовательном $ (n-1)$-кратном применении теоремы 2.8 к слагаемым $ C_kf_k(x)$, предел которых, согласно предыдущему следствию, равен $ C_kL_k$.     

В качестве частного случая можно рассмотреть предел разности двух функций. Разность $ f(x)-g(x)$ можно представить в виде $ 1\cdot f(x)+(-1)\cdot g(x)$ и применить следствие 2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}(f(x)-g(x))=\lim_{\mathcal{B}}f(x)-\lim_{\mathcal{B}}g(x),$

то есть что разность (как и сумма) сохраняется при переходе к пределу.

        Замечание 2.4   Утверждение следствия 2.5, с алгебраической точки зрения, означает, что, во-первых, множество $ \mathcal{L}_{\mathcal{B}}$ всех функций, заданных на фиксированном окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и имеющих предел при базе $ \mathcal{B}$ -- это линейное пространство, а во-вторых -- что операция взятия предела $ \lim\limits_{\mathcal{B}}$ -- это линейное отображение линейного пространства $ \mathcal{L}_{\mathcal{B}}$ в линейное пространство вещественных чисел $ \mathbb{R}$. Попросту: переход к пределу сохраняет суммирование и умножение на постоянные.    

Предел отношения двух функций $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$, в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов числителя $ f(x)$ и знаменателя $ g(x)$, даже если пределы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)$ существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример:

        Пример 2.15   Пусть $ f(x)=x^2$, $ g(x)=x$ и взята база $ \mathcal{B}=\{x\to0\}$. Тогда, очевидно, $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=0$, $ \lim\limits_{x\to0}g(x)=0$ и отношение пределов $ \dfrac{\lim\limits_{x\to0}f(x)}{\lim\limits_{x\to0}g(x)}$ не имеет смысла. При этом $ \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{x^2}{x}=x$ при $ x\ne0$ и предел отношения существует: $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to0}x=0$.     

Оказывается, условия $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)\ne0$, которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл, -- этого условия достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное утверждение.

        Лемма 2.1   Пусть при некоторой базе $ \mathcal{B}$ существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L\ne0$. Тогда функция $ h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена на некотором окончании этой базы и локально ограничена при этой базе.

        Доказательство.     Возьмём положительное число $ {\varepsilon}=\dfrac{\vert L\vert}{2}$. По определению предела, в базе $ \mathcal{B}$ найдётся такое окончание $ E$, что при всех $ x\in E$ будет $ \vert g(x)-L\vert<{\varepsilon}=\dfrac{\vert L\vert}{2}$. Это неравенство можно привести к виду

$\displaystyle -\dfrac{\vert L\vert}{2}+L<g(x)<\dfrac{\vert L\vert}{2}+L.$(2.2)

При $ L>0$ это неравенство означает, что $ \dfrac{L}{2}<g(x)<\dfrac{3L}{2}$; так как $ \dfrac{L}{2}>0$, то и $ g(x)>0$ при всех $ x\in E$ и, следовательно, функция $ h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена во всех точках окончания $ E$ и удовлетворяет неравенству

$\displaystyle 0<h(x)=\dfrac{1}{g(x)}<\dfrac{2}{L}.$

При $ L<0$ неравенство (2.2) означает, что $ -\dfrac{3\vert L\vert}{2}<g(x)<-\dfrac{\vert L\vert}{2}$; так как $ -\dfrac{\vert L\vert}{2}<0$, то и $ g(x)<0$ при всех $ x\in E$ и, опять-таки, функция $ h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена во всех точках окончания $ E$; она удовлетворяет неравенству

$\displaystyle -\dfrac{2}{\vert L\vert}<h(x)=\dfrac{1}{g(x)}<0.$

В любом случае получаем, что функция $ h(x)$ определена во всех точках $ x\in E$ и при этих $ x$ удовлетворяет неравенству $ \vert h(x)\vert<\dfrac{2}{\vert L\vert}$, что означает локальную ограниченность функции $ h(x)$ при базе $ \mathcal{B}$.     

На основе этой леммы мы докажем обещанное выше утверждение о пределе отношения.

        Теорема 2.10   Пусть при одной и той же базе $ \mathcal{B}$ существуют пределы $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1}$ и $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2}$, причём $ {L_2\ne0}$. Тогда функция $ h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ определена на некотором окончании базы $ \mathcal{B}$, существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$, и $ L=\dfrac{L_1}{L_2}$, то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.

        Доказательство.     Представим отношение $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$ в виде $ f(x)\cdot\dfrac{1}{g(x)}$, в котором и первый, и второй множители определены на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ (относительно второго множителя см. предыдущую лемму). Поэтому и исходное отношение имеет смысл при всех $ x\in E$.

Утверждение о том, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L_1}{L_2}$, эквивалентно тому, что разность $ {{\alpha}(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{L_1}{L_2}}$ -- бесконечно малая величина. Приводя эту разность к общему знаменателю, получим, что $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{L_2}\cdot\dfrac{1}{g(x)}\cdot(L_2f(x)-L_1g(x))$. Величина $ \dfrac{1}{L_2}$ -- постоянная и, следовательно (см.  пример 2.11), локально ограничена; функция $ \dfrac{1}{g(x)}$ -- тоже локально ограничена при базе $ \mathcal{B}$ (по предыдущей лемме). Значит, с учётом предложения 2.1 и теоремы 2.7, будет доказано, что величина $ {\alpha}(x)$ бесконечно малая, если мы покажем, что бесконечно мала при базе $ \mathcal{B}$ величина $ L_2f(x)-L_1g(x)$. Найдём предел этой величины. По свойству линейности предела ( следствие 2.5)

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}(L_2f(x)-L_1g(x))=L_2\lim_{\mathcal{B}}f(x)-L_1\lim_{\mathcal{B}}g(x)= L_2L_1-L_1L_2=0.$

Это означает, что величина $ L_2f(x)-L_1g(x)$ бесконечно мала.     

        Замечание 2.5   Как и в случае пределов суммы и произведения, можно сделать замечание (аналогичное замечаниям 2.2 и 2.3): если существует предел отношения, то пределы числителя и знаменателя, вообще говоря, существовать не обязаны. Приведите сами пример, иллюстрирующий это утверждение.     

        Пример 2.16   Найдём предел

$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}.$

Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень $ x$, то есть на $ x^2$, и получим предел

$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}}% {3-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}.$

В этом пределе знаменатель стремится к 3, так как $ \frac{1}{x}\xrightarrow {x\to\infty}0$ и $ \frac{2}{x^2}=2\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\xrightarrow {x\to\infty}0$ (здесь мы применили теорему о пределе произведения для последнего слагаемого) и, следовательно, $ 3-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\xrightarrow {x\to\infty}3-0+0=3$ (здесь мы воспользовались линейностью предела). Поскольку предел знаменателя оказался не равен 0, то можно применить теорему о пределе отношения и получить, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}= \dfrac{\... ...its_{x\to\pm\infty}\left(2+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}\right)} {3}=\dfrac{2}{3}.$   

Предел числителя, равный 2, мы нашли аналогично пределу знаменателя, пользуясь линейностью предела.

Итак,

$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}=\dfrac{2}{3}.$

    

Заметим, что предел отношения многочленов оказался равен отношению коэффициентов при старшей степени $ x$, то есть, в данном случае, при $ x^2$.

Аналогично решаются и другие примеры на вычисление пределов отношения двух многочленов при $ x\to\infty$, а также пределов отношения некоторых других функций, например, связанных с корнями из многочленов.

        Пример 2.17   Найдём предел

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}.$

Для этого поделим числитель и знаменатель дроби на $ x$ (под знаком корня в знаменателе для этого придётся поделить на $ x^2$):

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}= \li... ...to+\infty}\dfrac{1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}} {\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}.$

Поскольку $ \frac{1}{x^2}\xrightarrow {x\to+\infty}0$, то подкоренное выражение стремится к 4, а весь знаменатель -- к $ \sqrt{4}=2$.6 Предел знаменателя оказался отличен от 0, поэтому предел отношения равен отношению пределов. Найдём предел числителя. Поскольку $ e^{-\frac{1}{x}}<1$ при всех $ x>0$ (так как показатель степени отрицателен), то величина $ e^{-\frac{1}{x}}$ локально ограничена при базе $ x\to+\infty$ и поскольку величина $ \frac{1}{x}$ -- бесконечно малая при этой базе, то произведение $ e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}$ также бесконечно мало, то есть стремится к 0 при $ x\to+\infty$. Значит, предел числителя равен

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}\right)=1+0=1,$

а исходный предел --

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}= \li... ...rac{1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}} {\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}=\dfrac{1}{2}.$

    

        Упражнение 2.5   Найдите пределы:

$\displaystyle L_1=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3-8x+3}{x^3-2x^2};$

$\displaystyle L_2=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-2x+3\sin 5x}{2x+\cos(x^2)};$

$\displaystyle L_3=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{3x^3+1}}{\sqrt{2x^3-1}}.$

Ответ: $ L_1=1$; $ L_2=-1$; $ L_3=\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Указания: поделите числитель и знаменатель дроби в первом примере на $ x^3$, во втором -- на $ x$ и в третьем -- на $ \sqrt{x^3}$. Во втором примере воспользуйтесь тем, что $ 3\sin 5x$ и $ \cos(x^2)$ -- величины, ограниченные при всех $ x$ (и, следовательно, локально ограниченные при любой базе).     

        Теорема 2.11 (теорема "о двух милиционерах")   Пусть даны три функции $ f_1(x)$, $ f_2(x)$ и $ {\varphi}(x)$, при всех $ x$ из некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ связанные неравенством

$\displaystyle f_1(x)\leqslant {\varphi}(x)\leqslant f_2(x).$

Пусть функции $ f_1(x)$ и $ f_2(x)$ имеют общий предел при базе $ \mathcal{B}$:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f_1(x)=\lim_{\mathcal{B}}f_2(x)=L.$

Тогда функция $ {\varphi}(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, равный тому же числу $ L$:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}{\varphi}(x)=L.$

        Доказательство.     Согласно определению предела, для любого $ {\varepsilon}>0$ найдутся такие окончания базы $ E_1$ и $ E_2$, что при $ x\in E_1$ выполняется неравенство

$\displaystyle -{\varepsilon}<f_1(x)-L<{\varepsilon},$

а при $ x\in E_2$ -- неравенство

$\displaystyle -{\varepsilon}<f_2(x)-L<{\varepsilon}.$

Значит, для окончания $ E\sbs E_0\cap E_1\cap E_2$ при всех $ x\in E$ выполняются неравенства

$\displaystyle -{\varepsilon}<f_1(x)-L\leqslant {\varphi}(x)-L\leqslant f_2(x)-L<{\varepsilon},$

то есть

$\displaystyle -{\varepsilon}<{\varphi}(x)-L<{\varepsilon}.$

Это означает, что предел величины $ {\varphi}(x)$ равен $ L$.     

Рис.2.21.Два милиционера $ f_1$ и $ f_2$ и пьяный $ {\varphi}$ движутся в участок $ L$


(Происхождение названия теоремы таково: пусть график функции $ y=f_1(x)$ -- это траектория движения первого милиционера в участок, график $ y=f_2(x)$ -- второго милиционера туда же, а график $ y={\varphi}(x)$ -- траектория движения нетрезвого гражданина, находящегося, в соответствии с неравенством

$\displaystyle f_1(x)\leqslant {\varphi}(x)\leqslant f_2(x),$

в любой момент $ x$ между двумя милиционерами. Тогда и этот гражданин неизбежно придёт туда же, в участок $ L$.)

        Теорема 2.12 (теорема о пределе неотрицательной величины)   Пусть $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и существует $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$. Тогда $ L\geqslant 0$. Иными словами, при переходе к пределу знак нестрогого неравенства сохраняется.

        Доказательство.     Если бы предел $ L$ был отрицательным, то можно было бы взять $ {\varepsilon}=-\frac{L}{2}>0$ и найти такое окончание базы $ E_1$, что при $ x\in E_1$ выполняется неравенство $ -{\varepsilon}=\frac{L}{2}<f(x)-L<{\varepsilon}=-\frac{L}{2}$, откуда $ \frac{3L}{2}<f(x)<\frac{L}{2}<0$. Это же будет выполнено на некотором окончании $ E_2\sbs E\cap E_1$, что противоречит предположению, что $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in E$. Противоречие доказывает, что отрицательным предел $ L$ быть не может, то есть $ L\geqslant 0$.     

        Следствие 2.6   Пусть $ f(x)\leqslant 0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и существует $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$. Тогда $ L\leqslant 0$.

        Доказательство.     Для доказательства достаточно взять функцию $ f_1(x)=-f(x)\geqslant 0$, применить к ней доказанную только что теорему и воспользоваться тем, что знак минус можно вынести за знак предела (по свойству линейности предела).     

        Следствие 2.7 (переход к пределу в нестрогом неравенстве)   Пусть при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ выполняется неравенство $ {f_1(x)\leqslant f_2(x)}$. Предположим, что существуют пределы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)=L_1$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2$. Тогда $ L_1\leqslant L_2$ (то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства $ \geqslant $.

        Доказательство.     Рассмотрим функцию $ g(x)=f_2(x)-f_1(x)$. По условию теоремы, $ g(x)\geqslant 0$, причём

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)= \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)-\lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2-L_1.$

Применим к функции $ g(x)$ теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что $ L_2-L_1\geqslant 0$, то есть $ L_2\geqslant L_1$, что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично.     

        Замечание 2.6   Аналогичные утверждения для строгих неравенств ($ >$ и $ <$) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел $ \lim\limits_{x\to0+}x$. Очевидно, он равен 0, хотя при любом $ x$ из любого окончания $ (0;{\delta})$ базы $ x\to0+$ величина $ f(x)=x$ строго положительна.    

Рис.2.22.Предел строго положительной величины может оказаться равным 0


Напомним, что функция $ f(x)$ называется не убывающей на множестве $ {A\sbs\mathbb{R}}$, если для любых $ {x_1,x_2\in A}$, таких что $ {x_1<x_2}$, выполняется неравенство $ {f(x_1)\leqslant f(x_2)}$, и не возрастающей на $ A$, если при $ {x_1,x_2\in A}$ и $ {x_1<x_2}$ выполняется неравенство $ {f(x_1)\geqslant f(x_2)}$.

        Теорема 2.13 (о пределе монотонной функции)   Пусть рассматривается одна из баз $ n\to\infty$, $ x\to+\infty$, $ x\to x_0-$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не убывает на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ f(x)\leqslant C$ при всех $ x\in E$. Тогда существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, причём $ L\leqslant C$.

Рис.2.23.Предел неубывающей ограниченной сверху функции


Доказательство этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества чисел $ \{C\}$, где числа $ C$ ограничивают функцию $ f(x)$ сверху, существует точная нижняя грань $ L=\inf\{C\}$; она-то и будет пределом неубывающей функции.

Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.    

Имеют место также утверждения, получающиеся из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты $ t=-x$:

        Следствие 2.8   Пусть рассматривается одна из баз $ {n\to\infty}$, $ {x\to+\infty}$, $ {x\to x_0-}$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не возрастает на некотором окончании $ E$ базы  $ \mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ {f(x)\geqslant C}$ при всех $ {x\in E}$. Тогда существует предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$, причём  $ {L\geqslant C}$.    

Рис.2.24.Предел невозрастающей ограниченной снизу функции


        Следствие 2.9   Пусть рассматривается одна из баз $ x\to-\infty$, $ x\to x_0+$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не убывает на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ f(x)\geqslant C$ при всех $ x\in E$. Тогда существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, причём $ L\geqslant C$.    

Рис.2.25.Предел неубывающей ограниченной снизу функции


        Следствие 2.10   Пусть рассматривается одна из баз $ {x\to-\infty}$, $ {x\to x_0+}$, которую обозначим  $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не возрастает на некотором окончании $ E$ базы  и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ {f(x)\leqslant C}$ при всех $ {x\in E}$. Тогда существует предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$, причём $ {L\leqslant C}$.    

Рис.2.26.Предел невозрастающей ограниченной сверху функции
Наверх: Пределы

Физика лабы
строительство бассейнов на открытом участке, депозиты проценты в Москоммерцбанке
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ сколиоз лечение заграницей
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции грузоперевозки екатеринбург
Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения морской карась
Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры