Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

        Определение 2.13   Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и имеет следующее свойство:
для любого, как угодно большого, положительного числа $ N$ можно найти такое окончание $ E_N$ базы $ \mathcal{B}$, что при любом $ x\in E_N$ будет выполнено неравенство

$\displaystyle \vert f(x)\vert>N.$

Рис.2.29.Бесконечно большая при базе $ \mathcal{B}$


Тогда функция $ f(x)$ называется бесконечно большой при базе $ \mathcal{B}$; это обозначается так:

$\displaystyle \vert f(x)\vert\xrightarrow {\mathcal{B}}+\infty,$

или так:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\vert f(x)\vert=+\infty,$

или даже так:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f(x)=\infty.$

Если при этом $ f(x)>N$ при $ x\in E_N$, то для положительной бесконечно большой $ f(x)$ можно писать $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}+\infty$ или $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=+\infty$, а если $ f(x)<-N$, то для отрицательной бесконечно большой $ f(x)$ можно писать $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}-\infty$ или $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=-\infty$.     

Нужно, конечно, чётко осознавать, что предел, равный бесконечности, -- это чисто условная запись и что в этом случае никакого числового значения такой предел не имеет и, следовательно, не существует, в смысле определения предела функции.

        Пример 2.24   Примером бесконечно большой при $ {x\to+\infty}$ может служить $ {f(x)=x}$: в качестве окончания $ E_N$ можно тогда взять $ {(N;+\infty)}$. Очевидно, что тогда $ {f(x)=x>N}$, если $ {x\in E_N=(N;+\infty)}$.

Рис.2.30.График $ y=x$


    

        Пример 2.25   Примером положительной бесконечно большой при $ x\to0$ может служить $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$.

Рис.2.31.График $ y=\dfrac{1}{x^2}$


В качестве упражнения найдите зависимость числа $ {\delta}>0$, задающего окончание $ (-{\delta};0)\cup(0,{\delta})$ базы $ x\to0$, от числа $ N$.     

        Пример 2.26   Примером отрицательной бесконечно большой при $ x\to0+$ может служить функция $ f(x)=\ln x$.

Рис.2.32.График $ y=\ln x$


В качестве упражнения найдите зависимость числа $ {\delta}>0$, задающего окончание $ (0;{\delta})$ базы $ x\to0+$, от числа $ N$.     

Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин устанавливает следующая теорема.

        Теорема 2.16   Пусть $ f(x)$ -- функция, бесконечно большая при базе $ \mathcal{B}$. Тогда величина $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

        Доказательство.     Для начала заметим, что на всех достаточно далёких окончаниях $ E$ базы $ \mathcal{B}$ будет $ \vert f(x)\vert>N>0$, так что функция $ {\alpha}(x)$ определена на этих окончаниях. Далее, пусть взято некоторое $ {\varepsilon}>0$. Положим $ N=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$ и выберем такое окончание $ E$, что $ \vert f(x)\vert>N=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$ при $ x$ из этого окончания. Тогда $ \vert{\alpha}(x)\vert=\dfrac{1}{\vert f(x)\vert}<\dfrac{1}{N}={\varepsilon}$ при таких $ x$, что и означает, что $ {\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$.     

        Замечание 2.9   Утверждение, обратное к доказанной теореме, вообще говоря, неверно: если $ {\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$, то функция $ f(x)=\dfrac{1}{{\alpha}(x)}$ не всегда является бесконечно большой при базе $ \mathcal{B}$, хотя бы потому, что может быть не определена ни на каком окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$. Простейший пример -- это постоянная величина $ {\alpha}=0$, которая, очевидно, бесконечно мала при любой базе ( $ \lim\limits_{\mathcal{B}}0=0$), но $ \dfrac{1}{{\alpha}}$ не имеет смысла ни при каких $ x$. Однако если сделать дополнительное предположение, что $ {\alpha}(x)\ne0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$, то обратное утверждение становится верным.     

        Теорема 2.17   Пусть $ {\alpha}(x)$ -- такая бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$, что $ {\alpha}(x)\ne0$ при всех $ x$ из некоторого окончания базы $ \mathcal{B}$. Тогда функция $ f(x)=\dfrac{1}{{\alpha}(x)}$ -- бесконечно большая при базе $ \mathcal{B}$.    

Докажите эту теорему в качестве упражнения.

Утверждение, что некоторая функция $ f(x)$ является бесконечно большой положительной величиной при базе $ \mathcal{B}$ означает при вычислении пределов, что при замене $ y=f(x)$ база $ \mathcal{B}$ переходит в базу $ y\to+\infty$. Если же $ y=f(x)$ -- отрицательная бесконечно большая, то после замены получится база $ y\to-\infty$. Прослеживая за изменениями баз при последовательных заменах, можно вычислять многие пределы.

        Пример 2.27   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0+}e^{-\frac{1}{x}}$.

Рассмотрим замену $ t=\dfrac{1}{x}$. При $ x\to0+$ будет $ t=\dfrac{1}{x}\to+\infty$. Пусть теперь $ z=-t$. При $ t\to+\infty$ будет $ z=-t\to-\infty$. Наконец, пусть $ y=e^z$. При $ z\to-\infty$ будет $ y=e^z\to0+$. (См. графики, расположенные ниже.) Последнее соотношение означает, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}e^{-\frac{1}{x}}=0$

(и что, вдобавок, величина $ y$ остаётся положительной).     


Рис.2.33.Графики зависимостей $ t=\dfrac{1}{x}$, $ z=-t$, $ y=e^z$


Заметим, что при решении было важно отследить изменение функций именно при $ x$, стремящемся к 0 справа. В качестве упражнения покажите, что если бы рассматривалась база $ x\to0-$, то получилась бы бесконечно большая положительная величина $ y=e^{-\frac{1}{x}}$, а при базе $ x\to0$ величина $ y$ не имеет никакого предела и не является бесконечно большой.

Определите новую частоту сэмплирования, используя параметр New sample rate (2.000 to 192.000 Hz).

Совет 

Если вы повысите частоту сэмплирования вашего файла, это не повлечет улучшения его качества. Например, если у вас был звуковой файл с частотой сэмплирования 22 кГц, а вы повысили частоту до 44,1 кГц (чтобы записать этот файл на компакт-диск), он все равно будет звучать как 22-килогерцевый, поскольку именно с этой частотой он был записан. Но есть, по крайней мере, один плюс, связанный с повышением частоты сэмплирования файла — в результате этого увеличится разрешение файла и дальнейшие его редактирование и обработка не приведут к появлению шумов. Например, если вы хотите отредактировать 22-килогерцевый звуковой файл, не помешает повысить его частоту сэмплирования. С другой стороны, если вы понизите частоту сэмплирования звукового файла, это понизит его качество, поэтому, если вы все-таки решили это сделать, не забудьте создать резервную копию оригинала. Например, если у вас есть 48-килогерцевый звуковой файл и вы хотите снизить его частоту сэмплирования до 44,1 кГц, чтобы иметь возможность записать его на компакт-диск, обязательно сохраните копию версии с частотой 48 кГц для последующего редактирования и обработки. Механические приложения
двойного интеграла

3. Выберите значение параметра Interpolation accuracy (I to 4). Он позволяет определить точность процесса преобразования частоты сэмплирования. Низкое значение означает быструю, но менее точную обработку. Высокое значение подразумевает более медленную, но более точную обработку. Если длина вашего файла не очень велика, стоит выбрать значение, равное 4.

4. Если вы понижаете частоту сэмплирования, обязательно установите флажок Apply an anti-alias filter during resample. Это исключает возможность преобразования высокочастотных данных на входе в шумы на выходе, т. е. при применении более низкой частоты сэмплирования.

5. Если вы хотите, не внося изменения в данные, просто изменить скорость воспроизведения, установите флажок Set the sample rate only (do not re-sample). Использование этой функции повлечет за собой также изменение высоты тона. Ее стоит использовать, если кто-нибудь дал вам файл с неправильной скоростью воспроизведения.

6. Нажмите на кнопку Preview, чтобы услышать, как звучит файл, до того, как программа Sound Forge произведет в нем фактические изменения.

7. Нажмите на кнопку ОК.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике