Наверх: Пределы

Untitled Document


Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Выше, в примерах 2.17 и 2.23, мы отмечали, что, фактически, при вычислении этих пределов использовали соображения, связанные с непрерывностью функций. Дадим теперь строгое определение непрерывности и обсудим способы вычисления пределов с помощью этого понятия.

        Определение 2.14   Пусть $ x_0$ -- внутренняя точка области определения функции $ f(x)$, то есть функция $ f(x)$ определена при всех $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), окружающего точку $ x_0$. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

(то есть предполагается, что этот предел существует и равен значению функции в указанной точке).    

Рис.2.34.Функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_0$


        Пример 2.28   При доказательстве теоремы о первом замечательном пределе нами было получено, что $ \lim\limits_{x\to0+}\sin x=0$ (формула (2.3)). Так как $ \sin(-x)=-\sin x$, то с помощью замены $ t=-x$ легко показать, что $ {\lim\limits_{x\to0-}\sin x=0,}$ а из теоремы о связи односторонних и двустороннего пределов отсюда следует, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\sin x=\sin0=0.$

Эта формула означает, что функция $ f(x)=\sin x$ непрерывна в точке $ x_0=0$.

Там же была получена формула (2.4): $ {\lim\limits_{x\to0+}\cos x=1.}$ Пользуясь тем, что $ {\cos(-x)=\cos x}$, и сделав замену $ {t=-x}$, получим, что $ {\lim\limits_{x\to0-}\cos x=1.}$ Поэтому и

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\cos x=\cos0=1.$

Это означает, что функция $ {g(x)=\cos x}$ также непрерывна при $ {x_0=0}$.

Покажем, что функция $ \sin x$ непрерывна при любом $ x_0\in\mathbb{R}$. По определению, для этого нужно доказать, что

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0.$

Положим $ h=x-x_0$ и заметим, что база $ x\to x_0$ при такой замене переходит в базу $ h\to0$. Далее,

$\displaystyle \sin x=\sin(x_0+h)=\sin x_0\cos h+\cos x_0\sin h.$

Поэтому

\begin{multline*} \lim_{x\to x_0}\sin x=\lim_{h\to0}\sin(x_0+h)= \lim_{h\to0}(... ... x_0\lim_{h\to0}\sin h= \sin x_0\cdot1+\cos x_0\cdot0=\sin x_0 \end{multline*}

(здесь мы воспользовались линейностью предела; $ \sin x_0$ и $ \cos x_0$ были при этом постоянными коэффициентами), что и доказывает непрерывность синуса.

Совершенно аналогично, с использованием формулы

$\displaystyle \cos(x_0+h)=\cos x_0\cos h-\sin x_0\sin h,$

доказывается непрерывность при любом $ x_0$ функции $ \cos x$.     

        Определение 2.15   Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ [x_0;x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), примыкающем к точке $ x_0$ справа. Функция $ f(x)$ называется непрерывной справа в точке $ x_0$, если существует предел $ \lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$, и

$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0).$

Рис.2.35.Функция $ f(x)$ непрерывна справа в точке $ x_0$


Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ (x_0-{\delta};x_0]$ ( $ {\delta}>0$), примыкающем к точке $ x_0$ слева. Функция $ f(x)$ называется непрерывной слева в точке $ x_0$, если существует $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$, и

$\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0).$

Рис.2.36.Функция $ f(x)$ непрерывна слева в точке $ x_0$


    

Из теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним сразу следует такая

        Теорема 2.18   Функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_0$ тогда и только тогда, когда она непрерывна справа в точке $ x_0$ и непрерывна слева в точке $ x_0$.     

Поскольку $ x_0=\lim\limits_{x\to x_0}x$, то непрерывность функции в точке $ x_0$ означает, что обозначения функции $ f$ и предела $ \lim\limits_{x\to x_0}$ можно поменять местами:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(\lim_{x\to x_0}x).$(2.6)

То же касается и непрерывности слева и справа.

Назовём элементарной любую функцию $ f(x)$ переменного $ x$ из следующего списка:

$\displaystyle C;x^m;a^x;\sin x$

($ C,m,a$ -- произвольные постоянные вещественные числа, $ a>0$), а также любую функцию, полученную из этих элементарных функций при помощи композиций, арифметических операций, перехода к обратной функции.

При этом в число элементарных функций попадают, например, все многочлены

$\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$

(где $ a_0,\dots,a_n$ -- постоянные), все рациональные дроби

$\displaystyle R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$

(где $ P(x)$ и $ Q(x)$ -- многочлены), а также $ \cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$, $ \mathop{\rm tg}\nolimits x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $ \arcsin x$ (обратная к главной ветви $ \sin$), $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x$ (обратная к главной ветви $ \mathop{\rm tg}\nolimits $), $ \log_a x$ (обратная к $ a^x$) и другие функции, с которыми можно было встретиться ещё в школьном курсе анализа.

Однако не все функции, рассматривающиеся в курсе математического анализа, являются элементарными. Примером может служить довольно часто употребляющаяся функция

$\displaystyle \mathop{\rm sign}\nolimits x=\left\{\begin{array}{rl} -1&\text{ при }x<0;\\ 0&\text{ при }x=0;\\ 1&\text{ при }x>0. \end{array}\right.$

Рис.2.37.График функции $ \mathop{\rm sign}\nolimits x$


Если бы не значение $ \mathop{\rm sign}\nolimits 0=0$, её можно было бы рассматривать как элементарную: при $ x\ne0$ она совпадает с функцией

$\displaystyle g(x)=\dfrac{(x^2)^{\frac{1}{2}}}{x}=\dfrac{\vert x\vert}{x},$

которая при $ x=0$ не определена. Однако незначительное, на первый взгляд, отличие играет ключевую роль с точки зрения следующей теоремы.

        Теорема 2.19   Любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Частичное доказательство теоремы мы приведём ниже, в главе о свойствах непрерывных функций. Заметим, что выше мы уже доказали непрерывность функции $ \sin x$. Полное доказательство теоремы можно найти в подробных учебниках по математическому анализу, например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.    

В качестве примера рассмотрим только что введённую функцию $ g(x)=\dfrac{\vert x\vert}{x}$. Её график таков:

2.38.График функции $ g(x)=\frac{\vert x\vert}{x}$

Для любой точки $ x_0$ из области определения этой функции либо $ x_0>0$, и тогда $ g(x)=1$ при всех $ x$ из некоторой окрестности точки $ x_0$, либо $ x_0<0$, и тогда $ g(x)=-1$ при всех $ x$ из некоторой окрестности точки $ x_0$. Очевидно, что тогда в первом случае

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}g(x)= \lim\limits_{x\to x_0}1=1=g(x_0),$

а во втором --

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}g(x)= \lim\limits_{x\to x_0}(-1)=-1=g(x_0),$

то есть функция непрерывна в любой точке $ x_0$ своей области определения.

В случае функции $ \mathop{\rm sign}\nolimits x$ всё дело "портит" точка $ x_0=0$: очевидно, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm sign}\nolimits x= \lim\limits_{x\to0+}1=1\ne0=\mathop{\rm sign}\nolimits 0,$

то есть в точке 0 нет непрерывности справа. (Точно так же нет и непрерывности слева.)

Используя непрерывность элементарных функций, на основании общих теорем можно во многих (простых) случаях находить значение пределов прямой подстановкой предельного значения $ x$ в выражение, стоящее под знаком предела. Именно так мы поступим при вычислении предела в следующем примере.

        Пример 2.29   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$.

Поскольку функция $ f(x)=\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$ -- элементарная, причём $ x_0=0$ -- точка её области определения (так как $ \sin0+2e^0=2\ne0$), то для нахождения предела достаточно воспользоваться равенством (2.6) и подставить вместо $ x$ предельное значение 0:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}f(x)=\dfrac{0^2+\cos 0}{\sin 0+2e^0}=\frac{1}{2}.$

    

Прямую подстановку использовать нельзя в тех случаях, когда мы не можем вычислить значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, в данной предельной точке $ x_0$. В этом случае говорят, что задающее функцию выражение, а также и сам предел представляют собой неопределённость. Выше мы уже встречались с неопределённостями вида $ [1^{\infty}]$. Бывают ещё неопределённости вида $ [\frac{0}{0}]$, $ [\frac{\infty}{\infty}]$, $ [\infty-\infty]$, $ [\infty\cdot0]$ и других видов, заданные выражениями, не имеющими формального смысла. С символами в этих выражениях нельзя обращаться, как с числами в обычных дробях, разностях, произведениях и т. д. В частности, "дроби" $ [\frac{0}{0}]$, $ [\frac{\infty}{\infty}]$ вовсе не всегда означают пределы, значение которых равно единице. Например, $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{2x}{x}=[\frac{0}{0}]=2$, а $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=[\frac{0}{0}]=0$; $ \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3}{2x^3}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac{1}{2}$, а $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathop{\rm ctg}\nolimits 2x}{\mathop{\rm ctg}\nolimits 5x}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac{5}{2}.$ (Вычислите все эти пределы в качестве упражнения.) "Разности" вида $ [\infty-\infty]$ отнюдь не всегда обозначают неопределённости, которые после раскрытия предела дадут 0. Например, $ \lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x-1}-\sqrt{x-3})=[\infty-\infty]=0$ (здесь на самом деле получается 0), а $ \lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-2x+3}-\sqrt{x^2-3x+2})=[\infty-\infty]= \frac{1}{2}$. (Эти два примера будут вам предложены для решения ниже, в разделе Упражнения на вычисление пределов.)

Так что получается, что вся теория вычисления (нетривиальных) пределов -- это изучение способов раскрытия неопределённостей.

Во многих случаях, чтобы раскрыть неопределённость, достаточно каким-либо образом преобразовать стоящую под знаком предела функцию, после чего нахождение предела сводится к применению общих теорем (о пределе суммы, произведения, частного и т. п.), а также теорем о первом и втором замечательных пределах. Многие такие примеры мы разбирали выше. А вот ещё один типичный пример.

        Пример 2.30   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}$.

Данный предел представляет собой неопределённость, так как при $ x=2$ как числитель, так и знаменатель обращаются в 0 (это неопределённость вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$). Так что просто подставить 2 вместо $ x$ в исходную дробь нельзя. Однако если разложить числитель и знаменатель на множители (для чего найдём корни числителя: $ x=1$ и $ x=2$ -- и знаменателя: $ x=2$ и $ x=4$), получим $ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ и $ x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, и видно, что дробь (при $ x\ne2$) можно упростить, сократив на $ (x-2)$. Поскольку при $ x\to2$ мы считаем, что $ x\ne2$, то

$\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}=\lim_{x\to2}\dfrac{x-1}{x-4}.$

В последнем пределе дробь $ \dfrac{x-1}{x-4}$ непрерывна при $ x=2$, так как точка 2 входит в область определения этой элементарной функции. Поэтому $ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x-1}{x-4}=\dfrac{2-1}{2-4}=-\dfrac{1}{2}$ и, следовательно,

$\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}=-\dfrac{1}{2}.$

    

        Упражнение 2.7   Найдите предел $ \lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-4x+3}$. (При этом числитель и знаменатель можно сократить на $ (x-1)$. Ответ: $ \dfrac{3}{2}$.)     

        Упражнение 2.8   Найдите предел $ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin^22x}{\sin4x}$. (При этом знаменатель можно представить в виде $ 2\sin2x\cos2x$, а затем сократить дробь на $ \sin2x$. Ответ: 0.)     

Наверх: Пределы
Физика лабы
фейерверки , наземные, дневные фейерверки
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры