Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Угол между плоскостями

Пусть плоскости $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ заданы соответственно уравнениями $ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ . Требуется найти угол $ {\varphi}$ между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку $ M$ на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры $ l_1$ и $ l_2$ к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ с началами в точке $ M$ (рис. 11.6).




Рис.11.6.Угол между плоскостями


Если через точку $ M$ провести плоскость $ \Pi$ , перпендикулярную линии пересечения плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ , то прямые $ l_1$ и $ l_2$ и изображения векторов $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости $ \Pi$ (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).




Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый





Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой


В одном варианте (рис. 11.7) $ {{\varphi}+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ и $ {\psi+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ , следовательно, угол $ \psi$ между нормальными векторами равен углу $ {\varphi}$ , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ .

Во втором варианте (рис. 11.8) $ {\gamma}={\varphi}$ , а угол $ \psi$ между нормальными векторами равен $ \pi-{\gamma}$ . Так как

 

$\displaystyle \cos\psi=\cos(\pi-{\gamma})=-\cos{\gamma},$

то в обоих случаях $ {\vert\cos\psi\vert=\cos{\varphi}}$ .

По определению скалярного произведения $ {\bf n}_1{\bf n}_2=\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert \cos\psi$ . Откуда

 

$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf n}_1{\bf n}_2}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}$

и соответственно

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}_1{\bf n}_2\vert}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}.$(11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

$\displaystyle {\bf n}_1{\bf n}_2=0.$(11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

$\displaystyle {\bf n}_1=t{\bf n}_2,$(11.6)

где $ t$ -- любое число.

Применение усиления и затухания звука

В дополнение к основным операциям изменения громкости программа Sound Forge позволяет вам применять эффекты усиления и затухания звука в вашем файле. J

 Замечание 

Усиление- это постепенное, ровное увеличение громкости звука. В музыкальной терминологии такое усиление называется крещендо. Затухание представляет собой прямо противоположное явление - постепенное, ровное уменьшение громкости звука. Музыканты  называют это изменение звука термином диминуэндо. Дифференциальные уравнения

Чтобы применить усиление или затухание в ваших звуковых данных, сделайте следующее:

1. Создайте в вашем файле выделенную область, к которой вы хотите применить затухание или усиление. Если вы хотите обработать файл полностью, тогда либо вообще не выделяйте данные, либо выделите их полностью, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Чтобы применить усиление, выберите команду меню Process -> Fade -> In.

3. Чтобы применить затухание, выберите команду меню Process -> Fade -> Out.

Программа Sound Forge изменит громкость ваших данных в соответствии с указанными параметрами.

Найти частные производные ,  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике