Назад Расстояние от точки до плоскости  
Наверх: Прямые линии и плоскости
Вперед:Прямая в пространстве
Untitled Document


Прямая на плоскости

Прямая на плоскости и плоскость в пространстве обладают тем общим свойством, что дополнительная размерность равна единице. Другими словами, что все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Отметим, что прямая в пространстве этим свойством не обладает. Нормальные векторы к ней, если их начала поместить в одну точку, "заполняют" целую плоскость. Так как формулы (11.1), (11.3), (11.4), (11.5), (11.6), (11.7) основывались на нормальном векторе к плоскости, то они остаются верными и для прямой на плоскости, если из них исключить третью координату. Доказательство этих формул для прямой на плоскости полностью повторяет их доказательство для плоскости в пространстве.

Например, если прямая имеет уравнение $ Ax+By+C=0$ , то расстояние от точки $ M_0(x_0,y_0)$ до этой прямой получается из формулы (11.7) отбрасыванием третьей координаты $ z$ :

 

$\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

Кроме перечисленных выше формул для прямой на плоскости стоит отметить еще одну, связанную с тем, что на плоскости чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом $ {y=kx+b}$ , хорошо известное по школьному курсу математики.

        Предложение 11.2   Пусть заданы две прямые $ y=k_1x+b_1$ и $ y=k_2x+b_2$ , ($ k_2>k_1$ ). Тогда, если $ k_1k_2\ne-1$ , то угол $ {\varphi}$ между этими прямыми можно найти из формулы

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}.$(11.10)

Если $ k_1k_2=-1$ , то прямые перпендикулярны.

        Доказательство.     Как известно из школьного курса математики, угловой коэффициент в уравнении прямой $ {y=kx+b}$ равен тангенсу угла $ {\alpha}$ наклона прямой к оси $ Ox$ . Из рис. 11.10 видно, что $ {{\varphi}={\alpha}_2-{\alpha}_1}$ .




Рис.11.10.Угол между прямыми


Так как $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_1=k_1$ , $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2=k_2$ , то при $ k_1k_2\ne-1$ выполняется равенство

 

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=\mathop{\rm tg}\nolimits ({\al... ...mits {\alpha}_1\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2}= \frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2},$

что дает формулу (11.10).

Если же $ {k_1k_2=-1}$ , то $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_1\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2=-1$ , откуда

 

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}_2=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}_1=\mathop{\rm tg}\nolimits \left(\frac{\pi}2+{\alpha}_1\right).$

Следовательно, $ {\alpha}_2=\frac{\pi}2+{\alpha}_1$ и $ {\varphi}={\alpha}_2-{\alpha}_1=\frac{\pi}2$ .   
Назад Расстояние от точки до плоскости  
Наверх: Прямые линии и плоскости
Вперед:Прямая в пространстве
Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры