Назад Непрерывность функций и точки разрыва
Наверх: Непрерывность функций и точки разрыва
Вперед:Определение точек разрыва  

Untitled Document

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции


Определение непрерывности функции

Мы повторим здесь определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах.

        Определение 3.1   Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$ -- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ [x_0;b)$, для которого $ x_0$ -- левый конец. Функция $ f(x)$ называется непрерывной справа в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0+$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть

$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0).$

Пусть, наконец, функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ (a;x_0]$, для которого $ x_0$ -- правый конец. Функция $ f(x)$ называется непрерывной слева в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0-$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть

$\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0).$

    

Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.

        Предложение 3.1   Функция $ f(x)$ тогда и только тогда непрерывна в точке $ x_0$, когда она непрерывна в точке $ x_0$ справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:

1) функция $ f(x)$ определена в точке $ x_0$ и в некоторой окрестности этой точки;

2) существует предел значений функции слева: $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0-)$;

3) существует предел значений функции справа: $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0+)$;

4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке $ x_0$: $ f(x_0-)=f(x_0+)=f(x_0)$.     


Рис.3.1.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с $ f(x_0)$


Точка $ x_0$, в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции $ f(x)$; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

        Пример 3.1   Пусть $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}$ и $ x_0=0$. Тогда $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\sqrt{\vert x\vert}=0$ и $ {f(0)=\sqrt{0}=0}$. Эти значения совпадают, значит, функция $ f$ непрерывна в точке $ x_0=0$.

(Функция $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}=(x^2)^{\frac{1}{4}}$ -- элементарная функция; $ x_0=0$ -- точка её области определения . Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить $ f(x)$ $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$любой элементарной функцией, а $ x_0=0$ -- любой внутренней точкой области $ \mathcal{D}(f)$, и вывод остался бы тем же.)     

        Пример 3.2   Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin x}{x},&\mbox{при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{при }x=0\end{array}\right.$ и точку $ {x_0=0}$. При $ {x\ne0}$ функция задаётся формулой $ {f(x)=\dfrac{\sin x}{x}}$, при этом имеем $ {\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1}$ (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при $ x=0$: $ f(0)=1$. Итак, $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)=1$, что означает непрервыность функции $ f$ при $ x_0=0$.     

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

        Предложение 3.2   Пусть $ \mathcal{B}(x_0)$ -- база непроколотых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат интервалы $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$; $ \mathcal{B}(x_0-)$ -- база непроколотых левых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат полуинтервалы $ (x_0-{\delta};x_0]$, $ {\delta}>0$; $ \mathcal{B}(x_0+)$ -- база непроколотых правых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат полуинтервалы $ [x_0;x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$. Тогда непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ эквивалентна тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)}f(x)$; непрерывность слева в точке $ x_0$ -- тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0-)}f(x)$; непрерывность справа в точке $ x_0$ -- тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0+)}f(x)$.     
Наверх: Непрерывность функций и точки разрыва

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры