Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

        Определение 3.3   Пусть $ f$ -- некоторая функция, $ \mathcal{D}(f)$ -- её область определения и $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$ -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с $ a=-\infty$ и/или $ b=+\infty$)7. Назовём функцию $ f$ непрерывной на интервале $ (a;b)$, если $ f$ непрерывна в любой точке $ x_0\in(a;b)$, то есть для любого $ x_0\in(a;b)$ существует $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ (в сокращённой записи:
$ \forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)).$

Пусть теперь $ [a;b]$ -- (замкнутый) отрезок в $ \mathcal{D}(f)$. Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на отрезке $ [a;b]$, если $ f$ непрерывна на интервале $ (a;b)$, непрерывна справа в точке $ a$ и непрерывна слева в точке $ b$, то есть
$ 1)\quad\forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0);$
$ 2)\quad\exists\ \lim\limits_{x\to a+}f(x)=f(a);$
$ 3)\quad\exists\ \lim\limits_{x\to b-}f(x)=f(b).$     

        Пример 3.13   Рассмотрим функцию $ H(x)=\left\{\begin{array}{rl} 0,&\mbox{ при }x<0;\\ 1,&\mbox{ при }x\geqslant 0 \end{array}\right. $ (функция Хевисайда) на отрезке $ [0;b]$, $ b>0$. Тогда $ H(x)$ непрерывна на отрезке $ [0;b]$ (несмотря на то, что в точке $ x=0$ она имеет разрыв первого рода).     

Рис.3.15.График функции Хевисайда


Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов вида $ (a;b]$ и $ [c;d)$, включая случаи $ a=-\infty$ и $ d=+\infty$. Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножества $ A\sbs\mathcal{D}(f)$ следующим образом. Введём сначала понятие индуцированной на $ A$ базы: пусть $ \mathcal{B}$ -- база, все окончания $ E\in\mathcal{B}$ которой имеют непустые пересечения с $ A$. Обозначим $ E\cap A$ через $ E^A$ и рассмотрим множество всех $ E^A$. Нетрудно тогда проверить, что множество $ \mathcal{B}^A=\{E^A, E\in\mathcal{B}\}$ будет базой. Тем самым для $ A\sbs\mathcal{D}(f)$ определены базы $ \mathcal{B}(x_0)^A$, $ \mathcal{B}(x_0-)^A$ и $ \mathcal{B}(x_0+)^A$, где $ \mathcal{B}(x_0)$, $ \mathcal{B}(x_0-)$ и $ \mathcal{B}(x_0+)$ -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки $ x_0$ (их определение см. в начале текущей главы).

        Определение 3.4   Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на множестве $ A\sbs\mathcal{D}(f)$, если
$ \forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$     

Нетрудно видеть, что тогда при $ A=(a;b)$ и при $ A=[a;b]$ это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

        Теорема 3.5   Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции и $ I$ -- интервал или отрезок, лежащий в $ \mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$. Пусть $ f$ и $ g$ непрерывны на $ I$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непpеpывны на $ I$. Если вдобавок $ g(x)\ne0$ пpи всех $ x\in I$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непpеpывна на $ I$.     

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

        Предложение 3.4   Множество $ \mathcal{C}_I$ всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $ I\sbs\mathbb{R}$ -- это линейное пpостpанство:

$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$

    

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

        Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции)   Пусть функция $ f$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём $ f(a)$ и $ f(b)$ -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что $ f(a)<0$, а $ f(b)>0$.) Тогда существует хотя бы одно такое значение $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=0$ (то есть существует хотя бы один корень $ x_0$ уравнения $ f(x)=0$).

        Доказательство.     Рассмотрим середину отрезка $ c_1=\dfrac{a+b}{2}$. Тогда либо $ {f(c_1)=0}$, либо $ f(c_1)<0$, либо $ f(c_1)>0$. В первом случае корень найден: это $ x_0=c_1$. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция $ f$ принимает значения разных знаков: $ [c_1;b]$ в случае $ f(c_1)<0$ или $ [a;c_1]$ в случае $ f(c_1)>0$. Выбранную половину отрезка обозначим через $ [a_1;b_1]$ и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины $ [a_1;c_2]$ и $ [c_2;b_1]$, где $ c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$, и найдём $ f(c_2)$. В случае $ f(c_2)=0$ корень найден; в случае $ f(c_2)<0$ рассматриваем далее отрезок $ [a_2;b_2]=[c_2;b_1]$, в случае $ f(c_2)>0$ -- отрезок $ [a_2;b_2]=[a_1;c_2]$ и т. д.

 



Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень $ x_0=c_i$, либо будет построена система вложенных отрезков

$\displaystyle [a;b]\sps[a_1;b_1]\sps[a_2;b_2]\sps\ldots\sps[a_i;b_i]\sps\ldots,$

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность $ a_0=a,a_1,a_2,\dots,a_i,\dots$ -- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом $ b$); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел $ \lim\limits_{i\to\infty}a_i=a'$. Последовательность $ {b_0=b,b_1,b_2,\dots,b_i,\dots}$ -- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом $ a$); значит, существует предел $ \lim\limits_{i\to\infty}b_i=b'$. Поскольку длины отрезков $ b_i-a_i$ образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем $ \frac{1}{2}$), то они стремятся к 0, и $ \lim\limits_{i\to\infty}a_i=\lim\limits_{i\to\infty}b_i$, то есть $ a'=b'$. Положим теперь $ x_0=a'=b'$. Тогда

$\displaystyle \lim_{i\to\infty}f(a_i)=f(a')=f(x_0)$ и $\displaystyle \lim_{i\to\infty}f(b_i)=f(b')=f(x_0),$

поскольку функция $ f$ непрерывна. Однако, по построению последовательностей $ \{a_i\}$ и $ \{b_i\}$, $ f(a_i)<0$ и $ f(b_i)>0$, так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), $ \lim\limits_{i\to\infty}f(a_i)\leqslant 0$ и $ \lim\limits_{i\to\infty}f(b_i)\geqslant 0$, то есть $ f(x_0)\leqslant 0$ и $ f(x_0)\geqslant 0$. Значит, $ f(x_0)=0$, и $ x_0$ -- корень уравнения $ f(x)=0$.     

        Пример 3.14   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$. Поскольку $ f(0)=1$ и $ f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}$ -- числа разных знаков, то функция $ f(x)$ обращается в 0 в некоторой точке $ x_0$ интервала $ (0;\frac{\pi}{2})$. Это означает, что уравнение $ \cos x=x$ имеет корень $ x_0\in(0;\frac{\pi}{2})$.     

Рис.3.17.Графическое представление корня уравнения $ \cos x=x$


Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня $ x_0$, хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это -- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.

Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень $ x_0$ -- единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).

Рис.3.18.Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка


Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень -- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.

Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня


Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.

        Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ и $ f(a)\ne f(b)$ (будем для определённости считать, что $ f(a)<f(b)$). Пусть $ C$ -- некоторое число, лежащее между $ f(a)$ и $ f(b)$. Тогда существует такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=C$.

Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение


        Доказательство.     Рассмотрим вспомогательную функцию $ f_C(x)=f(x)-C$, где $ C\in(f(a);f(b))$. Тогда $ f_C(a)=f(a)-C<0$ и $ f_C(b)=f(b)-C>0$. Функция $ f_C$, очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ f_C(x_0)=0$. Но это равенство означает, что $ f(x_0)=C$.     

Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда $ H(x)$ (см.  пример 3.13) принимает значения $ f(-1)=-1$, $ f(1)=1$, но нигде, в том числе и на интервале $ (-1;1)$, не принимает, скажем, промежуточного значения $ \frac{1}{2}$. Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке $ x=0$, лежащей как раз в интервале $ (-1;1)$.

Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества $ M\sbs\mathbb{R}$ (то есть такого, что $ x\geqslant K$ при всех $ x\in M$ и некотором $ K$; число $ K$ называется нижней гранью множества $ M$) имеется точная нижняя грань $ \inf M$, то есть наибольшее из чисел $ K$, таких что $ x\leqslant K$ при всех $ x\in M$. Аналогично, если множество $ M$ ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань $ \sup M$: это наименьшая из верхних граней $ K$ (для которых $ x\leqslant K$ при всех $ x\in M$).

Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества


Если $ x_0=\inf M$, то существует невозрастающая последовательность точек $ {x_1\geqslant x_2\geqslant \dots\geqslant x_i\geqslant \dots}$, которая стремится к $ x_0$. Точно так же если $ x_0=\sup M$, то существует неубывающая последовательность точек $ {x_1\leqslant x_2\leqslant \dots\leqslant x_i\leqslant \dots}$, которая стремится к $ x_0$.

Если точка $ x_0=\inf M$ принадлежит множеству $ M$, то $ x_0$ является наименьшим элементом этого множества: $ x_0=\min M$; аналогично, если $ x_0=\sup M\in M$, то $ x_0=\max M$.

Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая

        Лемма 3.1   Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция на отрезке $ [a;b]$, и множество $ M$ тех точек $ x\in[a;b]$, в которых $ f(x)=K$ (или $ f(x)\leqslant K$, или $ f(x)\geqslant K$) не пусто. Тогда в множестве $ M$ имеется наименьшее значение $ x_{\min}\in M$, такое что $ x\geqslant x_{\min}$ при всех $ x\in M$.

Рис.3.22.Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение


        Доказательство.     Поскольку $ M$ -- ограниченное множество (это часть отрезка $ [a;b]$), то оно имеет точную нижнюю грань $ x_0=\inf M$. Тогда существует невозрастающая последовательность $ \{x_i\}\sbs M$, $ i=1,2,\dots$, такая что $ x_i\to x_0$ при $ i\to\infty$. При этом $ f(x_i)=K$, по определению множества $ M$. Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=\lim_{i\to\infty}K=K,$

а с другой стороны, вследствие непрерывности функции $ f(x)$,

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x_0).$

Значит, $ f(x_0)=K$, так что точка $ x_0$ принадлежит множеству $ M$ и $ x_0=\min M$.

В случае, когда множество $ M$ задано неравенством $ f(x)\leqslant K$, мы имеем $ f(x_i)\leqslant K$ при всех $ i=1,2,\dots$ и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)\leqslant K,$

откуда $ f(x_0)\leqslant K$, что означает, что $ x_0\in M$ и $ x_0=\min M$. Точно так же в случае неравенства $ f(x)\geqslant K$ переход к пределу в неравенстве даёт

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)\geqslant K,$

откуда $ f(x_0)\geqslant K$, $ x_0\in M$ и $ x_0=\min M$.     

        Теорема 3.8 (об ограниченности непрерывной функции)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда $ f$ ограничена на $ [a;b]$, то есть существует такая постоянная $ K$, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ при всех $ x\in[a;b]$.

Рис.3.23.Непрерывная на отрезке функция ограничена


        Доказательство.     Предположим обратное: пусть $ f(x)$ не ограничена, например, сверху. Тогда все множества $ {M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+1\}}$, $ {M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+2\},\dots}$, $ {M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+i\},\dots}$, не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств $ M_i$ имеется наименьшее значение $ x_i$, $ i=1,2,\dots$. Покажем, что

$\displaystyle x_0=a<x_1<x_2<\dots<x_i<\dots.$

Действительно, $ f(x_1)=f(a)+1>f(a)$. Если какая-либо точка из $ x_2,x_3,\dots$, например $ x_i$, лежит между $ x_0$ и $ x_1$, то

$\displaystyle f(x_0)=f(a)<f(x_1)=f(a)+1<f(x_i)=f(a)+i,$

то есть $ f(a)+1$ -- промежуточное значение между $ f(x_0$ и $ f(x_i)$. Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка $ x_*\in(x_0;x_i)$, такая что $ f(x_*)=f(a)+1$, и $ x_*\in M_1$. Но $ x_*<x_i<x_1$, вопреки предположению о том, что $ x_1$ -- наименьшее значение из множества $ M_1$. Отсюда следует, что $ x_i>x_1$ при всех $ i\geqslant 2$.

Точно так же далее доказывается, что $ x_i>x_2$ при всех $ i\geqslant 3$, $ x_i>x_3$ при всех $ i\geqslant 4$, и т. д. Итак, $ \{x_i\}$ -- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом $ b$. Поэтому существует $ \lim\limits_{i\to\infty}x_i=x'$. Из непрерывности функции $ f(x)$ следует, что существует $ \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x')$, но $ f(x_i)=f(a)+i\to+\infty$ при $ i\to\infty$, так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция $ f(x)$ ограничена сверху.

Аналогично доказывается, что $ f(x)$ ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.     

Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0, \end{array}\right. $

на отрезке $ [-1;1]$. Эта функция не ограничена на отрезке, так как при $ x=0$ имеет точку разрыва второго рода, такую что $ \vert f(x)\vert\to+\infty$ при $ x\to0$. Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию $ f(x)$ на полуинтервале $ (0;1]$. Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$.

Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.

        Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда существует точка $ x_*\in[a;b]$, такая что $ f(x_*)\leqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_*$ -- точка минимума: $ f(x_*)=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$), и существует точка $ x_{**}\in[a;b]$, такая что $ f(x_{**})\geqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_{**}$ -- точка максимума: $ f(x_{**})=\max\limits_{x\in[a;b]}f(x)$). Иными словами, минимальное и максимальное8 значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках $ x_*$ и $ x_{**}$ этого отрезка.

Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума


        Доказательство.     Так как по предыдущей теореме функция $ f(x)$ ограничена на $ [a;b]$ сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на $ [a;b]$ -- число $ K=\sup\limits_{x\in[a;b]}\{f(x)\}$. Тем самым, множества $ M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-1\}$, $ {M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{2}\}}$,..., $ M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{i}\}$,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения $ x_i$: $ f(x_i\geqslant K-\frac{1}{i}$, $ i=1,2,\dots$. Эти $ x_i$ не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):

$\displaystyle x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\leqslant \dots\leqslant x_i\leqslant \dots,$

и ограничены сверху числом $ b$. Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел $ \lim\limits_{i\to\infty}x_i=x_{**}.$ Так как $ f(x_i)\geqslant K-\frac{1}{i}$, то и

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x_{**})\geqslant \lim\limits_{i\to\infty}(K-\frac{1}{i})=K,$

по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть $ f(x_{**})\geqslant K$. Но при всех $ x\in[a;b]$ $ f(x)\leqslant K$, и в том числе $ f(x_{**})\leqslant K$. Отсюда получается, что $ f(x_{**})=K$, то есть максимум функции достигается в точке $ x_{**}$.

Аналогично доказывается существование точки минимума.     

В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+x,&\mbox{ при }x\in[-1;0);\\ 0,&\mbox{ при }x\in[0;1], \end{array}\right. $

на отрезке $ [-1;1]$. Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что $ \vert f(x)\vert\leqslant 1$) и $ \sup\limits_{x\in[-1;1]}\{f(x)\}=1$, однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что $ f(0)=0$, а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке $ x=0$, так что при $ x\to0-$ предел $ f(x)$ не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию $ f(x)=x$ на интервале $ (0;1)$. Очевидно, что функция непрерывна и что $ \inf\limits_{x\in(0;1)}=0$ и $ \sup\limits_{x\in(0;1)}=1$, однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала $ (0;1)$. Рассмотрим также функцию $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ на полуоси $ [0;+\infty)$. Эта функция непрерывна на $ [0;+\infty)$, возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке $ x=0$, но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом  $ \dfrac{\pi}{2}$ и $ \sup\limits_{x\in[0;+\infty)}f(x)=\dfrac{\pi}{2}).$

Заметим, что доказанная теорема не даёт практического способа находить точки минимума и максимума функции на заданном отрезке. Такой способ мы обсудим позднее, когда изучим понятие производной. Однако теорема важна тем, что даёт нам уверенность в том, что искомый экстремум существует и мы сможем его отыскать.

Изменение громкости звука

 

Одна из основных операций со звуковыми данными — это изменение их уровня сигнала (громкости). Существует бесчисленное множество причин, которые могут побудить вас изменить громкость файла, поэтому программа Sound Forge предоставляет несколько различных функций, позволяющих справиться с этой задачей. Эти функции называются Volume, Fade и Normalize.

Функция Volume

Чтобы просто увеличить или уменьшить уровень сигнала для выделенной области или всего файла, вам нужно воспользоваться функцией Volume. Вот как работает эта функция:

1. Создайте в вашем файле выделенную область, громкость которой вы хотите изменить. Если вы хотите обработать файл полностью, тогда либо вообще не выделяйте данные, либо выделите их полностью, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Volume, чтобы открыть диалоговое окно Volume (рис. 8.15).

3. Чтобы изменить громкость ваших данных, выберите значение параметра Gain (-Inf. to 20 dB). Чтобы увеличить громкость, передвиньте ползунок вверх, а чтобы уменьшить — вниз. С помощью этого метода вы не сможете установить абсолютное значение. Громкость просто будет увеличена или уменьшена на ту величину, которую вы определите.

Предупреждение

Помните, как в главе 6 мы описывали установку уровня входного сигнала в процессе записи? Мы предупреждали вас, что нельзя излишне повышать этот уровень, поскольку это может привести к перегрузке входного сигнала и искажению данных. Так вот, повышая громкость звуковых данных, придерживайтесь того же правила. Чрезмерное повышение громкости может повлечь за собой "обрезание" данных. Это происходит, когда программа Sound Forge пытается поднять уровень сигнала выше 100% (в соответствии с показаниями линейки сигнала окна данных). При этом верхняя и нижняя оконечности диаграммы сигналов отсекаются и звук деформируется. Итак, используя функцию Volume будьте осторожны. Следите за диаграммами громкости сигналов и обязательно проверяйте звучание записи перед тем, как внести окончательные изменения Если окажется, что запись деформирована, используйте команду Undo чтобы отменить повышение громкости.

Клапаны управления Dorot: дисковые затворы .