Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Равномерная непрерывность

Напомним, что непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ означает, что $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, то есть
$ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
Тем самым непрерывность функции $ f$ на интервале или отрезке $ I\sbs\mathcal{D}(f)$ означает, что
$ \forall x_0\in I\ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
При этом мы имеем право выбирать число $ {\delta}>0$ в зависимости от $ {\varepsilon}$ и, главное, от точки $ x_0\in I$.

Предположим теперь, что число $ {\delta}>0$ можно выбрать общим для всех $ x_0\in I$ (но, конечно, зависящим от $ {\varepsilon}$). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке $ x_0$ выполнено равномерно по $ x_0\in I$.

Дадим теперь такое

        Определение 3.5   Пусть $ f$ -- некоторая функция и $ I\sbs\mathcal{D}(f)$. Функция $ f$ равномерно непрерывна на $ I$, если
$ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x_0,x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$     

Приведём пример равномерно непрерывной функции.

        Пример 3.15   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси $ \mathbb{R}$. Фиксируем число $ {\varepsilon}>0$ и положим $ {\delta}={\varepsilon}$. Выберем теперь любые две точки $ x$ и $ x_0$, такие что $ \vert x-x_0\vert<{\varepsilon}$, и покажем, что тогда $ {\vert\sin x-\sin x_0\vert<{\varepsilon}}$. Действительно,

$\displaystyle \vert\sin x-\sin x_0\vert=\left\vert 2\cos\dfrac{x+x_0}{2}\sin\df... ...left\vert\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert= \vert x-x_0\vert\leqslant {\varepsilon},$   

так как, во-первых, $ \left\vert\cos\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert\leqslant 1$ при всех $ x$ и $ x_0$ и, во-вторых, $ \vert\sin{\alpha}\vert\leqslant \vert{\alpha}\vert$ при всех $ {\alpha}\in\mathbb{R}$ (у нас $ {\alpha}=x-x_0$). Таким образом. равномерная непрерывность функции $ \sin$ доказана.     

Лучше изучить условие равномерности по $ x_0$ мы сможем, приведя пример, где оно нарушается.

        Пример 3.16   Пусть функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$ рассматривается на интервале $ (0;1)$. Если фиксирована точка $ x_0\in(0;1)$, то для заданного $ {\varepsilon}>0$ мы можем выбрать $ {\delta}>0$ так, что $ \left\vert\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}\right\vert<{\varepsilon}$ при всех $ x$ таких, что $ \vert x-x_0\vert<{\delta}$; для нахождения $ {\delta}$ нужно решить неравенство $ \left\vert\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}\right\vert<{\varepsilon}$ относительно $ x$ (напомним, что точка $ x_0$ фиксирована):

$\displaystyle -{\varepsilon}<\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}<{\varepsilon}\Longrigh... ...{1}{x_0}-{\varepsilon}<\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{x_0}+{\varepsilon}\Longrightarrow$   
$\displaystyle \Longrightarrow \dfrac{x_0}{1+{\varepsilon}x_0}<x<\dfrac{x_0}{1-{... ..._0^2}{1+{\varepsilon}x_0}<x<x_0+\dfrac{{\varepsilon}x_0^2}{1-{\varepsilon}x_0}.$   

Из чисел $ {\delta}'=\dfrac{{\varepsilon}x_0^2}{1+{\varepsilon}x_0}$ и $ {\delta}''=\dfrac{{\varepsilon}x_0^2}{1-{\varepsilon}x_0}$ выберем минимальное:

$\displaystyle {\delta}=\min\{{\delta}';{\delta}''\}={\delta}'=\dfrac{{\varepsilon}x_0^2}{1+{\varepsilon}x_0}.$

Тогда при $ \vert x-x_0\vert<{\delta}$ будет $ \left\vert\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}\right\vert<{\varepsilon}$. Проанализируем, однако, зависимость $ {\delta}$ от $ x_0$: при $ x_0$, приближающемся к 0, значения $ {\delta}=\dfrac{{\varepsilon}x_0^2}{1+{\varepsilon}x_0}$ будут убывать и стремиться к 0 (при неизменном значении $ {\varepsilon}$), что хорошо видно на следующем чертеже:

Рис.3.25.Изменение $ {\delta}$ в зависимости от положения точки $ x_0$


При приближении точки $ x_0$ к началу координат нам приходится по одному и тому же $ {\varepsilon}>0$ выбирать всё меньшие $ {\delta}$-окрестности точки $ x_0$, чтобы обеспечить выполнение неравенства $ \left\vert\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}\right\vert<{\varepsilon}$. Выбрать $ {\delta}$ общим для всех $ x_0\in(0;1)$, очевидно, невозможно: при заданном $ {\varepsilon}>0$ какое бы фиксированное число $ {\delta}>0$ ни было взято, мы можем поместить точку $ x_0$ так близко от 0, что значения $ \dfrac{1}{x}$ и $ \dfrac{1}{x_0}$ будут отличаться друг от друга больше, чем на $ {\varepsilon}$, хотя $ \vert x-x_0\vert<{\delta}$. Это означает, что функция не является равномерно непрерывной на интервале $ (0;1)$.     

        Теорема 3.10   Пусть $ I=[a;b]\sbs\mathcal{D}(f)$ и функция $ f(x)$ непрерывна на $ I$. Тогда $ f(x)$ равномерно непрерывна на $ I$.

Доказательство этой теоремы достаточно сложно и основывается на тонких свойствах системы действительных чисел, а именно, на том, что любой замкнутый отрезок $ I$ является компактом9. Мы пропускаем здесь доказательство теоремы, отсылая за ним заинтересованного читателя к подробным курсам математического анализа, например, Никольский С.М., Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991; Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. -- М.-Л.: ГИТТЛ, 1948 и др. годы изд.     

В качестве следствия равномерной непрерывности легко получается утверждение теоремы 3.8, а именно,

        Следствие 3.1   Любая функция $ f$, непрерывная на замкнутом отрезке $ {I=[a;b]\sbs\mathcal{D}(f)}$, ограничена на $ I$ (то есть существует такое число $ K$, что $ \vert f(x)\vert<K$ при всех $ x\in I$).

Приведём это доказательство (хотя теорема 3.8 была ранее доказана другим способом):

        Доказательство.     Фиксируем какое-либо число $ {\varepsilon}>0$, например $ {\varepsilon}=1$, и выберем $ {\delta}>0$ такое, что при всех $ x,x_0\in I$, для которых $ \vert x-x_0\vert<{\delta}$, будет $ \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}=1$. Разобьём $ I$ на отрезки длины $ \leqslant {\delta}$:

$\displaystyle I=[a;b]=[a;a+{\delta}]\cup[a+{\delta};a+2{\delta}]\cup\ldots\cup[a+(n-1){\delta};b]= \bigcup_{i=1}^nI_i$

(мы положили $ n=\lceil\dfrac{b-a}{{\delta}}\rceil$;10 длина последнего отрезка может оказаться меньше $ {\delta}$). Выберем в качестве $ x_0$ середину $ x_i$ каждого из отрезков:

$\displaystyle x_1=a+\dfrac{{\delta}}{2};\ x_2=a+{\delta}+\dfrac{{\delta}}{2};\d... ...a+(i-1){\delta}+\dfrac{{\delta}}{2};\dots;x_n=b-\frac{1}{2}(b-a-(n-1){\delta}).$

Тогда для каждого $ x\in I_i$ выполняется неравенство $ \vert x-x_i\vert\leqslant \dfrac{{\delta}}{2}<{\delta}$ и, следовательно, $ \vert f(x)-f(x_i)\vert<1$. Это неравенство эквивалентно такому: $ -1<f(x)-f(x_i)<1$, или $ f(x_i)-1<f(x)<f(x_i)+1$. Поскольку точек $ x_i$ конечное число (а именно, $ n$), то мы можем взять минимальное из чисел $ f(x_i)-1$, $ i=1,\dots,n$, и максимальное из чисел $ f(x_i)+1$, $ i=1,\dots,n$:

$\displaystyle K'=\min_{i=1,\dots,n}\{f(x_i)-1\};\ K''=\max_{i=1,\dots,n}\{f(x_i)+1\}.$

Тогда для любого $ x\in I$ верно неравенство $ K'<f(x)<K''$, и осталось взять $ K=\max\{\vert K'\vert;\vert K''\vert\}$. При этом для любого $ x\in I$ будет $ \vert f(x)\vert<K$, что означает ограниченность функции $ f$ на $ I$.     

Изменение громкости звука

 

Одна из основных операций со звуковыми данными — это изменение их уровня сигнала (громкости). Существует бесчисленное множество причин, которые могут побудить вас изменить громкость файла, поэтому программа Sound Forge предоставляет несколько различных функций, позволяющих справиться с этой задачей. Эти функции называются Volume, Fade и Normalize.

Функция Volume

Чтобы просто увеличить или уменьшить уровень сигнала для выделенной области или всего файла, вам нужно воспользоваться функцией Volume. Вот как работает эта функция:

1. Создайте в вашем файле выделенную область, громкость которой вы хотите изменить. Если вы хотите обработать файл полностью, тогда либо вообще не выделяйте данные, либо выделите их полностью, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Volume, чтобы открыть диалоговое окно Volume (рис. 8.15).

3. Чтобы изменить громкость ваших данных, выберите значение параметра Gain (-Inf. to 20 dB). Чтобы увеличить громкость, передвиньте ползунок вверх, а чтобы уменьшить — вниз. С помощью этого метода вы не сможете установить абсолютное значение. Громкость просто будет увеличена или уменьшена на ту величину, которую вы определите.

Предупреждение

Помните, как в главе 6 мы описывали установку уровня входного сигнала в процессе записи? Мы предупреждали вас, что нельзя излишне повышать этот уровень, поскольку это может привести к перегрузке входного сигнала и искажению данных. Так вот, повышая громкость звуковых данных, придерживайтесь того же правила. Чрезмерное повышение громкости может повлечь за собой "обрезание" данных. Это происходит, когда программа Sound Forge пытается поднять уровень сигнала выше 100% (в соответствии с показаниями линейки сигнала окна данных). При этом верхняя и нижняя оконечности диаграммы сигналов отсекаются и звук деформируется. Итак, используя функцию Volume будьте осторожны. Следите за диаграммами громкости сигналов и обязательно проверяйте звучание записи перед тем, как внести окончательные изменения Если окажется, что запись деформирована, используйте команду Undo чтобы отменить повышение громкости.