Предположим теперь, что число
можно выбрать общим для всех
(но, конечно, зависящим от
).
Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке
выполнено равномерно по
.
Дадим теперь такое
Приведём пример равномерно непрерывной функции.
![]() |
при всех Лучше изучить условие равномерности
по
мы сможем, приведя пример, где оно нарушается.
рассматривается на интервале
при всех
относительно ![]() | |
![]() |
и
выберем минимальное:
.
Проанализируем, однако, зависимость
будут убывать и стремиться к 0 (при неизменном значении 
При приближении точки
к началу координат нам приходится по одному и тому же
выбирать всё меньшие
-окрестности
точки
,
чтобы обеспечить выполнение неравенства
.
Выбрать
общим для всех
,
очевидно, невозможно: при заданном
какое бы фиксированное число
ни было взято, мы можем поместить точку
так близко от 0, что значения
и
будут отличаться друг от друга больше, чем на
,
хотя
.
Это означает, что функция не является равномерно непрерывной на интервале
.
Доказательство этой теоремы достаточно
сложно и основывается на тонких свойствах системы действительных чисел, а именно,
на том, что любой замкнутый отрезок
является компактом9.
Мы пропускаем здесь доказательство теоремы, отсылая за ним заинтересованного читателя
к подробным курсам математического анализа, например, Никольский С.М.,
Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука,
1991; Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, т. 1. -- М.-Л.: ГИТТЛ, 1948 и др. годы изд.
В качестве следствия равномерной непрерывности легко получается утверждение теоремы 3.8, а именно,
Приведём это доказательство (хотя теорема 3.8 была ранее доказана другим способом):
Доказательство.
Фиксируем какое-либо число
,
например
,
и выберем
такое, что при всех
,
для которых
,
будет
.
Разобьём
на отрезки длины
:
;10
длина последнего отрезка может оказаться меньше
и, следовательно, Изменение
громкости звука Одна
из основных операций со звуковыми данными — это изменение их уровня сигнала (громкости).
Существует бесчисленное множество причин, которые могут побудить вас изменить
громкость файла, поэтому программа Sound Forge предоставляет несколько различных
функций, позволяющих справиться с этой задачей. Эти функции называются Volume,
Fade и Normalize. Чтобы
просто увеличить или уменьшить уровень сигнала для выделенной области или всего
файла, вам нужно воспользоваться функцией Volume. Вот как работает эта функция:
1.
Создайте в вашем файле выделенную область, громкость которой вы хотите изменить.
Если вы хотите обработать файл полностью, тогда либо вообще не выделяйте данные,
либо выделите их полностью, выбрав команду меню Edit -> Select All.
2.
Выберите команду меню Process -> Volume, чтобы открыть диалоговое
окно Volume (рис. 8.15). 3.
Чтобы изменить громкость ваших данных, выберите значение параметра Gain (-Inf.
to 20 dB). Чтобы увеличить громкость, передвиньте ползунок вверх, а чтобы
уменьшить — вниз. С помощью этого метода вы не сможете установить абсолютное значение.
Громкость просто будет увеличена или уменьшена на ту величину, которую вы определите.
Предупреждение
Помните, как в главе 6 мы описывали установку уровня входного сигнала в процессе
записи? Мы предупреждали вас, что нельзя излишне повышать этот уровень, поскольку
это может привести к перегрузке входного сигнала и искажению данных. Так вот,
повышая громкость звуковых данных, придерживайтесь того же правила. Чрезмерное
повышение громкости может повлечь за собой "обрезание" данных. Это происходит,
когда программа Sound Forge пытается поднять уровень сигнала выше 100% (в соответствии
с показаниями линейки сигнала окна данных). При этом верхняя и нижняя
оконечности диаграммы сигналов отсекаются и звук деформируется. Итак, используя
функцию Volume будьте осторожны. Следите за диаграммами громкости сигналов и обязательно
проверяйте звучание записи перед тем, как внести окончательные изменения Если
окажется, что запись деформирована, используйте команду Undo чтобы отменить повышение
громкости.