Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Параллельный перенос системы координат
Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: $ xOy$ ("старая") и $ \tilde xO_1\tilde y$ ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены (рис. 12.19)




Рис.12.19.Параллельный перенос системы координат


В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".

Пусть начало $ O_1$ "новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты $ (x_1;y_1)$ , и пусть $ M$  -- некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки $ M$ в "старой" системе координат $ (x_0;y_0)$ , а в "новой" -- $ (\tilde x_0;\tilde y_0)$ . Из рис. 12.19 ясно, что $ {x_0=x_1+\tilde x_0}$ , $ {y_0=y_1+\tilde y_0}$ . Откуда $ {\tilde x_0=x_0-x_1}$ , $ {\tilde y_0=y_0-y_1}$ . Так как точка $ M$ взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат:

$\displaystyle \tilde x=x-x_1,\quad\tilde y=y-y_1.$(12.11)

Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.

        Предложение 12.6   Пусть некоторая кривая задана уравнением $ {F(x,y)=0}$ . Тогда в системе координат $ \tilde xO_1\tilde y$ , полученной параллельным переносом, с началом в точке $ O_1(x_1;y_1)$ уравнение кривой будет иметь вид $ {F(\tilde x+x_1;\tilde y+y_1)=0}$ .     

Однако, для практического использования это предложение удобнее сформулировать немного подругому.

        Предложение 12.7   Пусть некоторая кривая задана уравнением $ {F(x-x_1;y-y_1)=0}$ . Тогда в системе координат $ \tilde xO_1\tilde y$ , полученной параллельным переносом, с началом в точке $ O_1(x_1;y_1)$ уравнение кривой будет иметь вид $ {F(\tilde x;\tilde y)=0}$ .     

Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул (12.11) связи между старыми и новыми координатами.

        Пример 12.7   Нарисуйте кривую $ {x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.

Решение. Выделим полные квадраты по переменным $ x$ и $ y$ (см. пример 12.1):

$\displaystyle (x^2-4x+4)-4+9(y^2+2y+1)-9+4=0.$

Откуда

$\displaystyle (x-2)^2+9(y+1)^2=9.$

Разделим обе части на 9:

$\displaystyle \frac{(x-2)^2}{3^2}+\frac{(y+1)^2}{1^2}=1.$

Введем новую систему координат с началом в точке $ O_1(2;-1)$ , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 12.7 получим, что кривая задается уравнением

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}{3^2}+\frac{\tilde y^2}{1^2}=1,$

а это -- каноническое уравнение эллипса с полуосями 3 и 1. Сделаем рисунок (рис. 12.20).




Рис.12.20.Эллипс, заданный уравнением $ {x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$


Из формулы (12.5) $ c=\sqrt{9-1}=2\sqrt2$ . Поэтому фокусы в новой системе координат имеют координаты $ {\tilde x=\pm2\sqrt2}$ , $ {\tilde y=0}$ . Используя формулы (12.11), находим старые координаты фокусов $ {x=2\pm2\sqrt2}$ , $ {y=-1}$ . Таким образом, фокусами являются точки $ F_1(2-2\sqrt2; -1)$ , $ F_2(2+2\sqrt2;-1)$ .         

        Пример 12.8   Постройте параболу

$\displaystyle y=\frac{6x-x^2-13}2,$

найдите ее фокус и директрису.

Решение. Преобразуем уравнение к виду $ 2y+x^2-6x+13=0$ и выделим полный квадрат по переменному $ x$ :

$\displaystyle 2y+(x^2-6x+9)-9+13=0.$

Из этого уравнения получим $ (x-3)^2=-2(y+2)$ . Произведем параллельный перенос осей координат: $ {\tilde x=x-3}$ , $ {\tilde y=y-(-2)}$ , новое начало координат -- $ O_1(3;-2)$ . В новых координатах уравнение параболы примет вид $ {\tilde x^2=-2\tilde y}$ , которое тоже не является каноническим. Но если мы изменим направление оси ординат и переобозначим оси: $ {x'=-\tilde y}$ , $ {y'=\tilde x}$ , то получим уравнение $ {(y')^2=2x'}$ . Это уравнение -- каноническое, $ {2p=2}$ , $ {p=1}$ . Строим оси и параболу (рис. 12.21).




Рис.12.21.Парабола, заданная уравнением $ y=\frac{6x-x^2-13}2$


В системе координат $ x'O_1y'$ фокус имеет координаты $ (0.5;0)$ , а директриса задается уравнением $ {x'=-0.5}$ . В системе координат $ {\tilde xO_1\tilde y}$ координаты фокуса -- $ (0;-0.5)$ , а уравнение директрисы $ {\tilde y=0.5}$ . Наконец, в исходной системе координат $ xOy$ получим фокус $ F(3;-2.5)$ и уравнение директрисы $ {y=-1.5}$ , что и служит ответом к задаче.         

        Пример 12.9   Постройте кривую

$\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$

Решение. Преобразуем уравнение к виду

$\displaystyle -(x+1)=\sqrt{2-2y^2+4y}.$(12.12)

Возведем обе части в квадрат:

$\displaystyle (x+1)^2=2-2y^2+4y.$

При этом появились новые точки, которые удовлетворяют последнему уравнению, но не удовлетворяют уравнению (12.12). Эти посторонние точки мы отбросим потом. Выделим полный квадрат по переменному $ y$ :

$\displaystyle (x+1)^2=2-2(y^2-2y+1)+2,$

то есть

$\displaystyle (x+1)^2+2(y-1)^2=4.$

Обе части разделим на 4 и произведем параллельный перенос системы координат: $ {\tilde x=x-(-1)}$ , $ {\tilde y=y-1}$ . Получим уравнение

$\displaystyle \frac{\tilde x^2}4+\frac{\tilde y^2}2=1,$

которое является каноническим уравнением эллипса с полуосями: 2 и $ \sqrt 2$ . Нарисуем его (рис. 12.22).




Рис.12.22.Эллипс, заданный уравнением $ (x+1)^2+2(y-1)^2=4$


Чтобы отбросить посторонние точки, возникшие при возведении в квадрат, преобразуем уравнение (12.12) к виду

$\displaystyle x=-1-\sqrt{2-2y^2+4y}.$

Из этого уравнения видно, что $ {x\leqslant -1}$ . Поэтому от нарисованного ранее эллипса нужно оставить только левую половину (рис. 12.23).




Рис.12.23.Кривая, заданная уравнением $ x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0$


Последний рисунок и является ответом к задаче.         

Изменение громкости звука

 

Одна из основных операций со звуковыми данными — это изменение их уровня сигнала (громкости). Существует бесчисленное множество причин, которые могут побудить вас изменить громкость файла, поэтому программа Sound Forge предоставляет несколько различных функций, позволяющих справиться с этой задачей. Эти функции называются Volume, Fade и Normalize. Методы интегрирования

Функция Volume

Чтобы просто увеличить или уменьшить уровень сигнала для выделенной области или всего файла, вам нужно воспользоваться функцией Volume. Вот как работает эта функция:

1. Создайте в вашем файле выделенную область, громкость которой вы хотите изменить. Если вы хотите обработать файл полностью, тогда либо вообще не выделяйте данные, либо выделите их полностью, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Volume, чтобы открыть диалоговое окно Volume (рис. 8.15). Решение примерного варианта контрольной работы по математике

3. Чтобы изменить громкость ваших данных, выберите значение параметра Gain (-Inf. to 20 dB). Чтобы увеличить громкость, передвиньте ползунок вверх, а чтобы уменьшить — вниз. С помощью этого метода вы не сможете установить абсолютное значение. Громкость просто будет увеличена или уменьшена на ту величину, которую вы определите.