| Наверх: Непрерывность функций и точки разрыва | Вперед:
Производные и дифференциалы |
|
| ||
|
|
||
|
| ||
Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.


Функции
,
и
--
нечётные; функция
--
чётная. Области определения гиперболических функций таковы:
Некоторые из свойств гиперболических функций схожи (но не всегда в точности совпадают) со свойствами соответствующих тригонометрических функций. Например, имеют место формулы:
Подобно тому, как равенство
выражает тот факт, что точка координатной плоскости
с координатами
,
при изменении параметра
движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением
(и называемой тригонометрическим кругом), равенство
говорит о том, что точка с координатами
,
движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением
.
Отсюда и происходит название: гиперболические функции.
Функции
,
непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют
обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная
к функции
,
называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом,
и обозначается
.
Имеем:
,
.
Функция, обратная к функции
,
называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом,
и обозначается
.
Итак,
,
.

Функция
,
хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах
и
и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция,
называемая обратным гиперболическим котангенсом, или
ареа-котангенсом, обозначаемая
.
Она определена на
и принимает значения в множестве
.

Функция
не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и
непрерывно) её ограничение на полуось
,
при этом функция
принимает все значения из
.
Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным
гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом
и обозначаемая
.
Она непрерывна на своей области определения
и принимает значения на
.
Возможен вариант: вместо ограничения на
можно рассмотреть ограничение функции
на
,
а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют
ареа-косинусом и обозначают
,
однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция
(будем обозначать её здесь
).
Итак,
и
.

![]()
| Наверх: Непрерывность функций и точки разрыва | Вперед:
Производные и дифференциалы |
| Физика лабы | ||||||||
| ||||||||