Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Гиперболические функции и ареа-функции

Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.

        Определение 3.6   Гиперболическим синусом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$

Гиперболическим косинусом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$

Гиперболическим тангенсом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$

Гиперболическим котангенсом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{... ...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

    

Рис.3.26.Графики гиперболических функций


Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$, $ \mathop{\rm th}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm cth}\nolimits x$ -- нечётные; функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$ -- чётная. Области определения гиперболических функций таковы:

$\displaystyle \mathcal{D}(\mathop{\rm sh}\nolimits )=\mathbb{R}, \mathcal{D}(... ...mathbb{R}, \mathcal{D}(\mathop{\rm cth}\nolimits )=\mathbb{R}\diagdown \{0\};$

области значений -- следующие:

$\displaystyle \mathcal{E}(\mathop{\rm sh}\nolimits )=\mathbb{R}, \mathcal{E}(... ...)=(-1;1), \mathcal{E}(\mathop{\rm cth}\nolimits )=(-\infty;-1)\cup(1;\infty).$

        Упражнение 3.1   Докажите сделанные утверждения о том, какой вид имеют области значений гиперболических функций.     

        Замечание 3.2   В англоязычной литературе используется обозначение $ \sinh$ вместо $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \cosh$ вместо $ \mathop{\rm ch}\nolimits $, $ \tanh$ вместо $ \mathop{\rm th}\nolimits $, $ \coth$ вместо $ \mathop{\rm cth}\nolimits $.     

Некоторые из свойств гиперболических функций схожи (но не всегда в точности совпадают) со свойствами соответствующих тригонометрических функций. Например, имеют место формулы:

$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1;$   
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits 2x=2\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits x;$   
$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits (x+y)=\mathop{\rm ch}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits y+\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm sh}\nolimits y;$   
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits (x+y)=\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits y+\mathop{\rm ch}\nolimits x\mathop{\rm sh}\nolimits y$   

и многие другие формулы, аналогичные известным формулам тригонометрии.

        Упражнение 3.2   Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.     

Подобно тому, как равенство $ \cos^2t+\sin^2t=1$ выражает тот факт, что точка координатной плоскости $ xOy$ с координатами $ x=\cos t$, $ y=\sin t$ при изменении параметра $ t$ движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением $ x^2+y^2=1$ (и называемой тригонометрическим кругом), равенство $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2t-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2t=1$ говорит о том, что точка с координатами $ x=\mathop{\rm ch}\nolimits t$, $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits t$ движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением $ x^2-y^2=1$. Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \mathop{\rm th}\nolimits $ непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $. Имеем: $ {\mathop{\rm arsh}\nolimits :\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm sh}\nolimits y}$. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm th}\nolimits $, называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается $ \mathop{\rm arth}\nolimits $. Итак, $ {\mathop{\rm arth}\nolimits :(-1;1)\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arth}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm th}\nolimits y}$.

Рис.3.27.Графики функций $ y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arth}\nolimits x$


Функция $ \mathop{\rm cth}\nolimits $, хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах $ (-\infty;0)$ и $ (0;+\infty)$ и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $. Она определена на $ (-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ и принимает значения в множестве $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Рис.3.28.График функции $ y=\mathop{\rm arcth}\nolimits x$


Функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось $ [0;+\infty)$, при этом функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits \vert _{[0;+\infty)}$ принимает все значения из $ [1;+\infty)$. Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая $ \mathop{\rm arch}\nolimits $. Она непрерывна на своей области определения $ [1;+\infty)$ и принимает значения на $ [0;+\infty)$.

Возможен вариант: вместо ограничения на $ [0;+\infty)$ можно рассмотреть ограничение функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ на $ (-\infty;0]$, а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-$). Итак, $ \mathop{\rm arch}\nolimits :[1;+\infty)\to[0;+\infty)$ и $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-:[1;+\infty)\to(-\infty;0]$.

Рис.3.29.Графики функций $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits _-x$


        Замечание 3.3   В англоязычной литературе используется обозначение $ \sinh^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $, $ \cosh^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, $ \tanh^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arth}\nolimits $, $ \coth^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $.     

        Упражнение 3.3   Докажите, пользуясь определением гиперболических функций, что ареа-функции выражаются через логарифмическую функцию следующим образом:

$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$

$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2-1});$

$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits _-x=\ln(x-\sqrt{x^2-1});$

$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x};$

$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}.$

Применение усиления и затухания звука

В дополнение к основным операциям изменения громкости программа Sound Forge позволяет вам применять эффекты усиления и затухания звука в вашем файле. J

 Замечание 

Усиление- это постепенное, ровное увеличение громкости звука. В музыкальной терминологии такое усиление называется крещендо. Затухание представляет собой прямо противоположное явление - постепенное, ровное уменьшение громкости звука. Музыканты  называют это изменение звука термином диминуэндо.

Чтобы применить усиление или затухание в ваших звуковых данных, сделайте следующее:

1. Создайте в вашем файле выделенную область, к которой вы хотите применить затухание или усиление. Если вы хотите обработать файл полностью, тогда либо вообще не выделяйте данные, либо выделите их полностью, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Чтобы применить усиление, выберите команду меню Process -> Fade -> In.

3. Чтобы применить затухание, выберите команду меню Process -> Fade -> Out.

Программа Sound Forge изменит громкость ваших данных в соответствии с указанными параметрами.

Сложное постепенное изменение громкости

Несмотря на то, что функции Fade in и Fade out позволяют вам постепенно изменять громкость звука, подобное изменение происходит линейно. Это означает, что громкость увеличивается или уменьшается равномерно. Если вы хотите поэкспериментировать с изменением громкости, используйте функцию Graphic Fade. Вот как это сделать:

1. Выделите в вашем файле данные, которые вы хотите обработать. Если вы хотите обработать весь файл, либо ничего не выделяйте, либо выделите все данные, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выполните команду меню Process -> Fade -> Graphic, чтобы открыть диалоговое окно Graphic Fade (рис. 8.16). В этом окне изображен график. На левой оси графика указываются значения амплитуды, которые могут варьироваться от 0 до 400% (в зависимости от значения параметра Maximum Gain, находящегося под графиком). На графике изображена кривая, показывающая изменение громкости ваших звуковых данных. Левый край этой кривой представляет начало выделенной области, а правый край — ее конец. Если положение кривой таково, что левый ее край находится внизу графика, а правый — вверху, это значит, что по отношению к вашим звуковым данным будет применено линейное усиление. Это объясняется тем, что левый край кривой находится напротив значения 0%, а правый — напротив значения 100%. Таким образом, громкость звуковых данных увеличится с 0 до 100%. Понятно, как работает эта функция?

Надувные конструкции: широкоформатная печать москва . Изготовление флагов, вымпелов. ;Услуги проката: прокат авто без залога . Прокат без Залога? ;Санатории и профилактории - санатории Сочи . Санатории Сочи? Легко.