Пример 3.17   Пусть функция определена на интервале следующим образом:

Найдём её область непрерывности и точки разрыва.

Поскольку внутри интервалов , , , функция совпадает с ограничениями на эти интервалы элементарных функций , , , 2 соответственно, то все эти интервалы входят в область непрерывности и точек разрыва там нет. Точками разрыва могут оказаться (но не обязательно окажутся!) лишь точки на стыках этих интервалов, то есть точки , , .

Для выяснения того, непрерывна ли функция в точке , найдём пределы слева и справа:

При этом мы воспользовались тем, что как элементарная функция (с областью определения ), так и элементарная функция (с областью определения ) имеют внутренней точкой своих областей определения, непрерывны в этой точке, и значения пределов можно найти прямой подстановкой. Поскольку пределы слева и справа в точке 1 совпали и, кроме того, , то условия непрерывности в точке 1 выполнены; разрыва в этой точке нет.

Точно так же исследуем функцию на непрерывность в точке . Найдём пределы слева и справа:

Поскольку пределы слева и справа при существуют, но не совпадают, функция имеет разрыв первого рода при .

Теперь найдём пределы при и :

Здесь пределы слева и справа совпадают между собой и со значением функции в точке 3: . Значит,  -- точка непрерывности.

Итак, функция имеет единственную точку разрыва , в которой происходит неустранимый разрыв первого рода; область непрерывности функции состоит из объединения двух интервалов: .