Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Эллипсоид

        Определение 13.3   Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$(13.3)

где $ a$ , $ b$ , $ c$ -- положительные числа.         

Исследуем форму эллипсоида. Из уравнения (13.3) видно, что координаты точек поверхности ограничены: $ \vert x\vert\leqslant a$ , $ \vert y\vert\leqslant b$ , $ \vert z\vert\leqslant c$ .

Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Доказывается это так же, как в предложении 12.1.

Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью $ xOy$ . Так как любая точка плоскости $ xOy$ имеет нулевую третью координату, $ {z=0}$ , то координаты точек эллипсоида на плоскости $ xOy$ удовлетворяют уравнению

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$(13.4)

По теореме 12.2 получаем, что линия пересечения является эллипсом с полуосями $ a$ и $ b$ (рис. 13.3).




Рис.13.3.Сечение плоскостью $ xOy$


Аналогично, сечение в плоскости $ yOz$ дает эллипс

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

с полуосями $ b$ и $ c$ , а сечение плоскостью $ xOz$ -- эллипс

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

с полуосями $ a$ и $ c$ (рис. 13.4)




Рис.13.4.Сечения эллипсоида координатными плоскостями


Нарисованный "каркас" из сечений уже дает представление об эллипсоиде. Но чтобы выяснить, как ведет себя поверхность между нарисованными кривыми, рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью $ {z=h}$ . Эта плоскость параллельна плоскости $ xOy$ и пересекает ось $ Oz$ в точке $ h$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1-\dfrac{h^2}{c^2},\\ z=h. \end{array}\right.$

Очевидно, что если $ \vert h\vert>c$ , то ни одна точка пространства не может удовлетворять этой системе: в левой части первого уравнения стоит неотрицательное число, а в правой -- отрицательное.

Если $ \vert h\vert=c$ , то сечении получим лишь одну точку $ (0;0;c)$ или $ (0;0;-c)$ в зависимости от знака $ h$ .

Пусть $ \vert h\vert<c$ . Тогда первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2\left(1-\frac{h^2}{c^2}\right)}+ \frac{y^2}{b^2\left(1-\frac{h^2}{c^2}\right)}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.5)

где $ a_1=a\sqrt{1-\frac{h^2}{c^2}}$ , $ b_1=b\sqrt{1-\frac{h^2}{c^2}}$ . Уравнение (13.5) является уравнением эллипса, подобного эллипсу, задаваемому уравнением (13.4), с коэффициентом подобия $ \sqrt{1-\frac {h^2}{c^2}}$ и полуосями $ a_1$ и $ b_1$ . Ясно, что сечение плоскостью $ {z=-h}$ является таким же эллипсом, расположенным симметрично первому относительно плоскости $ xOy$ . Нарисуем эти сечения (рис. 13.5).




Рис.13.5.Дополнительные сечения эллипсоида


Таким образом, весь эллипсоид составлен из эллипсов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости $ xOy$ и подобных эллипсу в плоскости $ xOy$ . Рисунок 13.6 дает более привычное глазу изображение эллипсоида.




Рис.13.6.Эллипсоид


Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии -- центром эллипсоида. Числа $ a$ , $ b$ , $ c$ называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.

Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если $ {a=b}$ , то все сечения эллипсоида плоскостями $ {z=h}$ , $ \vert h\vert<c$ , будут окружностями. Сам эллипсоид может быть получен из эллипса

$\displaystyle \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\quad (b=a),$

лежащего в плоскости $ yOz$ , при вращении его вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.7).




Рис.13.7.Эллипсоид вращения

Изменение громкости звука

 

Одна из основных операций со звуковыми данными — это изменение их уровня сигнала (громкости). Существует бесчисленное множество причин, которые могут побудить вас изменить громкость файла, поэтому программа Sound Forge предоставляет несколько различных функций, позволяющих справиться с этой задачей. Эти функции называются Volume, Fade и Normalize. Методы интегрирования

Функция Volume

Чтобы просто увеличить или уменьшить уровень сигнала для выделенной области или всего файла, вам нужно воспользоваться функцией Volume. Вот как работает эта функция:

1. Создайте в вашем файле выделенную область, громкость которой вы хотите изменить. Если вы хотите обработать файл полностью, тогда либо вообще не выделяйте данные, либо выделите их полностью, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Volume, чтобы открыть диалоговое окно Volume (рис. 8.15). Решение примерного варианта контрольной работы по математике

3. Чтобы изменить громкость ваших данных, выберите значение параметра Gain (-Inf. to 20 dB). Чтобы увеличить громкость, передвиньте ползунок вверх, а чтобы уменьшить — вниз. С помощью этого метода вы не сможете установить абсолютное значение. Громкость просто будет увеличена или уменьшена на ту величину, которую вы определите.