Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции
Назад   Мгновенная скорость при прямолинейном движении  
 Наверх: Производные и дифференциалы
Вперед:Производная


Касательная к кривой на плоскости

Пусть на координатной плоскости $ xOy$ построен график функции $ f(x)$, и $ x_0$ -- некоторая внутренняя точка области определения $ \mathcal{D}(f)$. Прямая, проходящая через точки $ M_0(x_0;y_0)$ и $ M_1(x_1;y_1)$, где $ y_0=f(x_0)$ и $ y_1=f(x_1)$ ( $ x_1\ne x_0$), -- это секущая по отношению к графику $ y=f(x)$.

Касательной к линии $ y=f(x)$ в точке $ M_0$ называется прямая $ M_0N$, служащая предельным положением секущих (прямых $ M_0M_1$), при условии, что точка $ M_1$ приближается, следуя по линии $ y=f(x)$, к точке касания $ M_0$.

Рис.4.1.Касательная -- это предельное положение секущих


Этому не вполне строгому определению можно придать точный смысл, если задавать положения всех прямых, проходящих через точку $ M_0$, то есть секущих и касательной, их углом наклона по отношению к положительному направлению оси $ Ox$. Обозначим через $ {\beta}$ угол наклона прямой $ M_0M_1$. Очевидно, что, вообще говоря, угол $ {\beta}$ зависит от выбора точки $ M_1$: $ {\beta}={\beta}(x_1)$ (считаем, что точка $ M_0$ фиксирована). Так как секущая проходит через точки с координатами $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$, то

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_1)=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$

Если теперь обозначить через $ h$ приращение абсциссы $ x$ при переходе от точки $ x_0$ к точке $ x_1$, то есть $ h=x_1-x_0$, то получим, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Приближение точки $ M_1$ к точке $ M_0$ вдоль кривой $ y=f(x)$ означает, что $ h\to0$; при этом угол $ {\beta}$ приближается, по определению, к углу $ {\alpha}$ наклона касательной $ M_0N$:

$\displaystyle {\alpha}=\lim_{h\to0}{\beta}(x_0+h).$

Предположим, что этот предел существует (что означает существование касательной) и не равен $ \pm\frac{\pi}{2}$. Тогда, вследствие того, что тангенс непрерывен при $ x\ne\pm\frac{\pi}{2}+2m\pi$ ( $ m\in\mathbb{Z}$), получаем, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\lim_{h\to0}\mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Итак, по определению, мы называем прямую $ M_0N$ наклонной касательной (или просто касательной) к линии $ y=f(x)$ в точке $ M_0(x_0;f(x_0))$, если она имеет тангенс угла $ {\alpha}$ наклона к оси $ Ox$, равный

$\displaystyle k_{x_0}=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$(4.3)

Число $ k_{x_0}$ называют угловым коэффициентом касательной к графику функции при $ {x=x_0}$.

Если же $ {\alpha}=\lim\limits_{h\to0}{\beta}(x_0+h)=\pm\frac{\pi}{2}$, то прямая $ M_0N$ оказывается вертикальной (перпендикулярной к оси $ Ox$). В этом случае будем говорить, что график $ y=f(x)$ имеет вертикальную касательную в точке $ M_0$. Этот случай соответствует тому, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to+\infty$

или

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to-\infty$

при $ h\to0$.

        Определение 4.2   Число $ k_{x_0}$, в случае если задающий его предел существует, называют производной функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначают $ f'(x_0)$. Иногда для уточнения говорят, что производная вычислена по переменной $ x$.     

Поскольку мы знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку $ (x_0;y_0)$ с угловым коэффициентом $ k=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}$, -- это $ Y=y_0+k(x-x_0)$ (где $ (x;Y)$ -- текущая точка прямой), то мы можем теперь выписать уравнение касательной к графику $ y=f(x)$ при $ {x=x_0}$, то есть касательной, проходящей через точку $ (x_0;f(x_0))$ с угловым коэффициентом, равным производной $ k_{x_0}=f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$:

$\displaystyle Y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$

Пусть дана некоторая кривая $ y=f(x)$, и в точке $ (x_0;y_0)$ к этой кривой проведена касательная. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к линии $ y=f(x)$.

Рис.4.2.Касательная и нормаль к линии $ y=f(x)$


Если касательная имеет угловой коэффициент $ k=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}$, то нормаль имеет угловой коэффициент $ k_1=-\dfrac{1}{k}=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}$, поскольку ввиду перпендикулярности нормали и касательной угол наклона нормали равен $ {\beta}={\alpha}+\frac{\pi}{2}$, а $ k_1=\mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\mathop{\rm tg}\nolimits ({\alpha}+\frac{\pi}{2})=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}.$ Поэтому уравнение нормали к линии $ y=f(x)$, проведённой через точку $ (x_0;y_0)$, имеет вид:

$\displaystyle Y=y_0-\dfrac{1}{k}(x-x_0),$

или

$\displaystyle Y=f(x_0)-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0).$

Наверх: Производные и дифференциалы

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ выбор типа утилизация отработанных аккумуляторных таможенное оформление
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры