Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Производная

Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная $ f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$, правая производная $ f'_+(x_0)$ и левая производная $ f'_-(x_0)$ задаются, соответственно, формулами
\begin{subequations}\begin{gather} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{... ..._-(x_0)=\lim_{h\to0-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \end{gather}\end{subequations}

при этом в формуле (4.3a) функция должна быть определена на некотором интервале $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, в формуле (4.3b) -- на некотором полуинтервале $ [x_0;x_0+{\delta})$, а в формуле (4.3c) -- на некотором полуинтервале $ (x_0-{\delta};x_0]$.

Функция, имеющая в точке $ x_0$ производную (соотв. левую производную, правую производную), называется дифференцируемой (соотв. дифференцируемой слева, дифференцируемой справа) в точке $ x_0$. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала $ (a;b)$, называется дифференцируемой на интервале $ (a;b)$. Пусть теперь $ [a;b]$ -- замкнутый отрезок. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала $ (a;b)$, дифференцируемая справа в точке $ a$ и дифференцируемая слева в точке $ b$, называется дифференцируемой на отрезке $ [a;b]$.

Вычислим производную данной функции $ f(x)$ в различных точках $ x$ некоторого интервала $ (a;b)$ и предположим, что производная $ f'(x)$ существует при всех $ x\in(a;b)$. Тогда мы можем задать соответствие между точками $ x$ интервала и числами $ f'(x)$ и получаем функцию $ f': (a;b)\to\mathbb{R}; f':x\mapsto f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной от функции $ f$ (или первой производной от $ f$).

С математической точки зрения, разница между формулами (4.3 a-c) невелика: согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними, если существует производная $ f'(x_0)$, то существуют обе односторонние производные (правая $ f'_+(x_0)$ и левая $ f'_-(x_0)$), и $ f'(x_0)=f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$. Обратно, если существуют и равны друг другу односторонние производные, $ f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$, то существует и производная $ f'(x_0)$, совпадающая с их общим значением.

В предположении, что производная $ f'(x_0)$ существует, мы можем теперь сказать, что число $ f'(x_0)$ задаёт мгновенную скорость изменения координаты $ y=f(x)$ при $ x=x_0$; с геометрической точки зрения, эта скорость равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику $ y=f(x)$ при $ x=x_0$: чем быстрее растут (или убывают) значения функции, тем круче наклонён график к оси $ Ox$ (составляя, соответственно, положительный или отрицательный угол с осью $ Ox$).

Рис.4.3.Скорость роста значений функции соответствует величине тангенса угла наклона касательной


        Замечание 4.1   В числителе дроби, предельное значение которой даёт производную, стоит выражение $ {\Delta}y=y_1-y_0=f(x_1)-f(x_0)=f(x_0+h)-f(x_0)$. Оно называется приращением функции. В знаменателе стоит величина $ {\Delta}x=x_1-x_0=h$. Она называется приращением аргумента. Величина $ \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}$ называется разностным отношением12. Условие $ h\to0$ можно, очевидно, записать в виде $ {\Delta}x\to0$ (кстати, база $ h\to0$ эквивалентна базе $ x_1\to x_0$). Тем самым определение производной можно записать в таком виде:

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}.$

От такой записи происходит обозначение производной в виде $ \dfrac{dy}{dx}(x_0)$.     

        Пример 4.1   Рассмотрим линейную функцию $ y=f(x)=kx+b$. Тогда $ {{\Delta}y=(k(x_0+h)+b)-(kx_0+b)=kh=k{\Delta}x}$, $ \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}=\dfrac{k{\Delta}x}{{\Delta}x}=k$ и $ f'(x_0)=\lim\limits_{{\Delta}x\to0}k=k$ при любом $ x_0$. Получаем, что для линейной функции производная в любой точке равна угловому коэффициенту $ k$. (Что неудивительно: ведь касательная к прямой, служащей графиком линейной функции, -- это та же самая прямая, а угловой коэффициент касательной равен производной!) В частности, при $ k=0$ получаем, что производная любой постоянной, то есть функции $ y=b=\mathrm{const}$, равна 0:

$\displaystyle (\mathrm{const})'=0,$(4.5)

а при $ k=1$ и $ b=0$ получаем, что

$\displaystyle x'=1.$(4.6)

    

        Пример 4.2   Пусть $ f(x)=\vert x\vert$ и $ x_0=0$. Вычислим односторонние производные $ f'_+(0)$ и $ f'_-(0)$.

При $ h>0$ имеем $ x_0+h=h>0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{h-0}{h}=1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}1=1.$

При $ h<0$ имеем $ x_0+h=h<0$ и $ f(x_0+h)=f(h)=\vert h\vert=-h$. Значит, разностное отношение равно $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\dfrac{-h-0}{h}=-1$ и $ f'_+(0)=\lim\limits_{h\to0}(-1)=-1.$

Графически это означает следующее. Мы строим касательную к графику

$\displaystyle y=\vert x\vert=\left\{\begin{array}{ll} -x,&\mbox{ при }x<0;\\ x,&\mbox{ при }x\geqslant 0, \end{array}\right.$

в точке $ M_0=O$, сначала пользуясь секущими $ M_0M_1$ с точкой $ M_1$ правее $ M_0$. Эта касательная, как и все такие секущие, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ \frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\pi}{4}=1=f'_+(0)$). Далее, мы строим касательную, пользуясь секущими $ M_0M_2$ с точкой $ M_2$ левее $ M_0$. Все такие секущие и касательная, по ним построенная, совпадают между собой и имеют уравнение $ {y=-x}$, задающее прямую, наклонённую под углом $ -\frac{\pi}{4}$ к оси $ Ox$ ( $ \mathop{\rm tg}\nolimits (-\frac{\pi}{4})=-1=f'_-(0)$).

Рис.4.4.График $ y=\vert x\vert$ имеет излом при $ x=0$


Таким образом, неравенство левой и правой производной выражает тот геометрический факт, что линия $ y=\vert x\vert$ имеет при $ x=0$ излом под углом $ \frac{\pi}{2}$ и не имеет общей касательной сразу к двум сторонам этого угла.     

Покажем теперь, что дифференцируемая функция не может быть разрывной.

        Теорема 4.1   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке $ x_0$. Тогда $ f(x)$ непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке $ x_0$.

        Доказательство.     Из существования производной

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}= \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

следует, что

\begin{multline*} \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))= \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x... ...ac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\lim_{x\to x_0}(x-x_0)= f'(x_0)\cdot0=0, \end{multline*}

откуда

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$

что и означает непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$.

Для доказательства теоремы в случае существования односторонних производных достаточно сменить базу $ x\to x_0$ на базу $ x\to x_0-$ или $ x\to x_0+$.     

        Замечание 4.2   Предыдущий пример показывает, что обратное утверждение неверно: функция не обязательно имеет производную во всех тех точках, где она непрерывна. Действительно, функция $ f(x)=\vert x\vert$ непрерывна при $ x=0$, но не имеет производной в точке 0.

Более того, можно построить пример такой функции, которая непрерывна во всех точках числовой прямой, но не имеет производной ни в одной из этих точек. Два таких примера (функции Вейерштрасса и Ван дер Вардена) приведены в весьма любопытной и полезной для понимания математики книге [Гелбаум Б., Олмстед Дж., Контрпримеры в анализе. -- М.: Мир, 1967. -- С. 52 - 53]. Построение функции Вейерштрасса приведено также в учебнике [Калугина Т.Ф., Киселёв В.Ю., Математический анализ. -- Иваново, изд. ИГАСА, 1997. -- С. 99 -101]. (Функция Вейерштрасса обладает ещё следующим замечательным свойством: она не монотонна ни на каком, как угодно коротком, интервале.) Построение непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций -- довольно сложная процедура.     

        Замечание 4.3   Заметим, что доказанная теорема гарантирует непрерывность функции, имеющей производную в точке $ x_0$, только в этой самой точке $ x_0$, но не на некотором интервале, окружающем $ x_0$. Примером функции, имеющей производную при $ x=0$, но разрывной при всех $ x\ne0$, служит функция

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ если }x\in\mathbb{Q},\\ x^2,&\mbox{ если }x\notin\mathbb{Q}. \end{array}\right. $

(Напомним, что через $ \mathbb{Q}$ обозначается множество всех рациональных чисел. Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси $ \mathbb{R}$: между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное число, а между двумя иррациональными -- рациональное.) Действительно, $ f(0)=0$; если $ h\ne0$ -- рациональное число, то разностное отношение $ \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{0-0}{h}=0$, а если $ h\ne0$ -- иррациональное, то $ \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^2-0}{h}=h$. И в том, и в другом случае разностное отношение стремится к 0 при $ h\to0$, так что существует производная $ f'(0)=0$. Однако, как нетрудно заметить, функция $ f(x)$ разрывна во всех точках $ x$, кроме $ x=0$.     

        Замечание 4.4   Заметим также, что даже если функция имеет производную на некотором интервале, окружающем точку $ x_0$, значение $ f'(x_0)$ может оказаться не равным пределу значений $ f'(x)$ при $ x\to x_0$, то есть производная $ f'$ может оказаться разрывной функцией.13 Примером такой функции с всюду существующей, но разрывной производной $ f'(x)$ может служить функция

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ если }x=0,\\ x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\ne0. \end{array}\right. $

Производная этой функции, как мы покажем ниже, равна

$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ если }x=0,\\ 2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\ne0. \end{array}\right. $

Нетрудно видеть, что эта функция имеет разрыв второго рода в точке 0, из-за слагаемого $ \cos\dfrac{1}{x}$, совершающего бесконечное число колебаний амплитуды 1 в любой, как угодно малой, окрестности точки 0.   

Изменение громкости звука

 

Одна из основных операций со звуковыми данными — это изменение их уровня сигнала (громкости). Существует бесчисленное множество причин, которые могут побудить вас изменить громкость файла, поэтому программа Sound Forge предоставляет несколько различных функций, позволяющих справиться с этой задачей. Эти функции называются Volume, Fade и Normalize. Методы интегрирования

Функция Volume

Чтобы просто увеличить или уменьшить уровень сигнала для выделенной области или всего файла, вам нужно воспользоваться функцией Volume. Вот как работает эта функция:

1. Создайте в вашем файле выделенную область, громкость которой вы хотите изменить. Если вы хотите обработать файл полностью, тогда либо вообще не выделяйте данные, либо выделите их полностью, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Volume, чтобы открыть диалоговое окно Volume (рис. 8.15). Решение примерного варианта контрольной работы по математике

3. Чтобы изменить громкость ваших данных, выберите значение параметра Gain (-Inf. to 20 dB). Чтобы увеличить громкость, передвиньте ползунок вверх, а чтобы уменьшить — вниз. С помощью этого метода вы не сможете установить абсолютное значение. Громкость просто будет увеличена или уменьшена на ту величину, которую вы определите.