Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Параболоиды

        Определение 13.7   Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2},$(13.13)

где $ a$ и $ b$ -- положительные числа.         

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости $ xOz$ , $ yOz$ и координатная ось $ Oz$ .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0.$

Координаты только одной точки плоскости $ xOy$ могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle z=\frac{y^2}{b^2}.$

Это уравнение параболы на плоскости $ yOz$ . Построим ее (рис. 13.19). Сечение плоскостью $ xOz$ также является параболой. Нарисуем и ее (рис. 13.19). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью $ {z=h}$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=h,\\ z=h. \end{array}\right.$

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если $ {h=0}$ . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть $ h>0$ . Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2h}+ \frac{y^2}{b^2h}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1,$(13.14)

где $ a_1=a\sqrt h$ , $ b_1=b\sqrt h$ . Уравнение (13.14) является уравнением эллипса. Нарисуем полученное сечение (рис. 13.19). При $ h<0$ плоскость поверхность не пересекает.




Рис.13.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями


Найдем сечения параболоида плоскостями $ z=\pm m$ , параллельными плоскости $ xOz$ . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{m^2}{b^2},\\ y=\pm m, \end{array}\right.$

и являются параболами, такими же, как в плоскости $ xOz$ , только сдвинутыми вверх на величину $ \frac{m^2}{b^2}$ , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью $ yOz$ (рис. 13.20).




Рис.13.20.Дополнительные сечения параболоида


Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости $ xOz$ . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости $ xOz$ , а вершина скользила по параболе в плоскости $ yOz$ .

Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.21.




Рис.13.21.Эллиптический параболоид


Если в уравнении (13.13) $ {a=b}$ , то сечения плоскостями, параллельными плоскости $ xOy$ , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости $ yOz$ , вокруг оси $ Oz$ (рис. 13.22).




Рис.13.22.Параболоид вращения


        Определение 13.8   Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2},$(13.15)

где $ a$ и $ b$ -- положительные числа.         

Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости $ xOz$ , $ yOz$ и координатная ось $ Oz$ .

Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью $ xOy$ . На этой плоскости $ {z=0}$ , поэтому

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0.$

Это уравнение определяет на плоскости $ xOy$ пару прямых $ {y=\pm\frac bax}$ , изображенных на рисунке 13.23.

Найдем линию пересечения с плоскостью $ yOz$ . На этой плоскости $ {x=0}$ , поэтому

$\displaystyle z=-\frac{y^2}{b^2}.$

Это уравнение на плоскости $ yOz$ задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью $ xOz$ также является параболой

$\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2},$

но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 13.23).




Рис.13.23.Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями


Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью $ {z=-h}$ , $ h>0$ . Уравнения этой линии

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} -\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=h,\\ z=-h. \end{array}\right.$

Первое уравнение преобразуем к виду

$\displaystyle \frac{y^2}{b^2h}- \frac{x^2}{b^2h}=1,$

то есть к виду

$\displaystyle \frac{y^2}{b_1^2}-\frac{x^2}{a_1^2}=1,$(13.16)

где $ a_1=a\sqrt h$ , $ b_1=b\sqrt h$ . Уравнение (13.16) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси $ Oy$ , а мнимая -- оси $ Ox$ . Полуоси равны соответственно $ a_1$ и $ b_1$ . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 13.24).

Найдем линии пересечения с плоскостями $ x=\pm m$ , параллельными плоскости $ yOz$ . Уравнения этих линий

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} z=\dfrac{m^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2},\\ x=\pm m. \end{array}\right.$

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью $ yOz$ , только сдвинутой вдоль оси $ Oz$ на величину $ \frac{m^2}{a^2}$ вверх. Эти параболы изображены на рисунке 13.24.




Рис.13.24.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений


Так как $ m$ -- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости $ yOz$ . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости $ yOz$ , а вершина скользила по параболе в плоскости $ xOz$ .

Плоскость $ z=h$ , $ h>0$ , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы (13.16), ее действительная ось параллельна теперь оси $ Ox$ , а мнимая -- оси $ Oy$ (рис. 13.25).




Рис.13.25.Дополнительное сечение


Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.26.




Рис.13.26.Гиперболический параболоид


Изменение громкости звука

 

Одна из основных операций со звуковыми данными — это изменение их уровня сигнала (громкости). Существует бесчисленное множество причин, которые могут побудить вас изменить громкость файла, поэтому программа Sound Forge предоставляет несколько различных функций, позволяющих справиться с этой задачей. Эти функции называются Volume, Fade и Normalize. Методы интегрирования

Функция Volume

Чтобы просто увеличить или уменьшить уровень сигнала для выделенной области или всего файла, вам нужно воспользоваться функцией Volume. Вот как работает эта функция:

1. Создайте в вашем файле выделенную область, громкость которой вы хотите изменить. Если вы хотите обработать файл полностью, тогда либо вообще не выделяйте данные, либо выделите их полностью, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Volume, чтобы открыть диалоговое окно Volume (рис. 8.15). Решение примерного варианта контрольной работы по математике

3. Чтобы изменить громкость ваших данных, выберите значение параметра Gain (-Inf. to 20 dB). Чтобы увеличить громкость, передвиньте ползунок вверх, а чтобы уменьшить — вниз. С помощью этого метода вы не сможете установить абсолютное значение. Громкость просто будет увеличена или уменьшена на ту величину, которую вы определите.