Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


Производные некоторых элементарных функций

    

1. Выше мы уже рассмотрели линейную функцию $ f(x)=kx+b$ и показали, что её производная равна угловому коэффициенту $ k$:

$\displaystyle (kx+b)'=k.$

2. Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$. Дадим аргументу $ x$ приращение $ h$ и найдём приращение функции: $ {\Delta}f=(x+h)^2-x^2=2xh+h^2$. Поэтому

$\displaystyle (x^2)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.$

(Можно доказать эту формулу и так:

$\displaystyle (x^2)'=(x\cdot x)'=x'x+x'x=1\cdot x+1\cdot x=2x.$

Здесь мы применили формулу (4.9).) Точно так же для функции $ f(x)=x^3$ получаем: $ {\Delta}f=(x+h)^3-x^3=3x^2h+3xh^2+h^3$, откуда

$\displaystyle (x^3)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2.$

(И здесь, применяя формулу (4.9), мы можем действовать так:

$\displaystyle (x^3)'=(x^2\cdot x)'=(x^2)'x+x'x^2=2x\cdot x+1\cdot x^2=3x^2.)$

Такие же вычисления для функции $ f(x)=x^n$ при целом $ n\geqslant 4$ можно провести, разложив $ (x+h)^n$ по формуле бинома Ньютона (см. гл. 2). При этом получится формула

$\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}.$(4.12)

(Проведите это вычисление самостоятельно в качестве упражнения. Другой способ доказательства этой формулы -- представить $ x^n$ в виде $ x^{n-1}\cdot x$ и применить метод математической индукции, воспользовавшись тем, что при $ n=2$ и 3 формула уже доказана.) При $ n=0$ и $ n=1$ формула (4.12) совпадает, соответственно, с формулами (4.5) и (4.6). Ниже мы докажем, что эта формула верна при любом $ n\in\mathbb{R}$, в том числе при дробных и отрицательных значениях $ n$.

3. Найдём производную функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в точке $ x>0$. Преобразуем приращение функции следующим образом:

$\displaystyle {\Delta}f=\sqrt{x+h}-\sqrt{x}= \dfrac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqr... ...{x}}= \dfrac{(x+h)-x}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}= \dfrac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}. $

Поэтому

$\displaystyle (\sqrt{x})'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}= \lim_{h\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}= \dfrac{1}{2\sqrt{x}},$

поскольку $ \lim\limits_{h\to0}\sqrt{x+h}=\sqrt{x}$ вследствие непрерывности элементарной функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в любой точке $ x>0$. Получили в итоге формулу $ (x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$, то есть формулу (4.12) при $ n=\frac{1}{2}$.

4. Пусть $ f(x)=\dfrac{1}{x^m}$, где $ m\in\mathbb{N}$. Производную этой функции можно подсчитать по формуле производной частного (формула (4.10)):

$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x^m}\right)'=\dfrac{1'x^m-1\cdot(x^m)'}{(x^m)^2}= \dfrac{-mx^{m-1}}{(x^m)^2}=-\dfrac{m}{x^{m+1}},$

то есть $ (x^{-m})'=(-m)x^{(-m)-1}$. Эта формула совпадает с формулой (4.12) при отрицательных целых $ n=-m$.

В частности, получаем при $ m=1$

$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$

и при $ m=2$

$\displaystyle \left(\dfrac{1}{x^2}\right)'=-\dfrac{2}{x^3}.$

5. Пусть $ f(x)=\sin x$. Тогда приращение функции равно

$\displaystyle {\Delta}f=\sin(x+h)-\sin x= 2\cos\dfrac{(x+h)+x}{2}\sin\dfrac{(x+h)-x}{2}= 2\cos(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2},$

а производная --

$\displaystyle (\sin x)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}= \lim_{h\to0}\cos(x+\... ...h}{2}) \lim_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}= \cos x\cdot1=\cos x.$

При этом мы воспользовались тем, что $ \lim\limits_{h\to0}\cos(x+\frac{h}{2})=\cos x$, так как $ \cos x$ -- непрерывная функция, и тем, что $ \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1$ (это первый замечательный предел).

6. Пусть $ f(x)=\cos x$. Тогда приращение функции равно

$\displaystyle {\Delta}f=\cos(x+h)-\cos x= -2\sin\dfrac{(x+h)+x}{2}\sin\dfrac{(x+h)-x}{2}= -2\sin(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2},$

а производная --

$\displaystyle (\cos x)'=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}= -\lim_{h\to0}\sin(x+... ...{2}) \lim_{h\to0}\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}= -\sin x\cdot1=-\sin x.$

При этом мы воспользовались непрерывностью синуса, откуда $ \lim\limits_{h\to0}\sin(x+\frac{h}{2})=\sin x,$ и первым замечательным пределом.

7. Рассмотрим функцию $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $ \dfrac{\sin x}{\cos x}$ и применим для нахождения производной формулу (4.10). Получаем:

$\displaystyle (\mathop{\rm tg}\nolimits x)'=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)... ...{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}= \dfrac{1}{\cos^2x}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x.$

8. Аналогично, для функции $ f(x)=\mathop{\rm ctg}\nolimits x$ получаем

$\displaystyle (\mathop{\rm ctg}\nolimits x)'{=}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\rig... ...in^2x-\cos^2x}{\sin^2x}= -\dfrac{1}{\sin^2x}=-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2x.$

9. Пусть $ f(x)=\log_ax$ ( $ a>0, a\ne1, x>0$). Тогда приращение функции равно

$\displaystyle {\Delta}f=\log_a(x+h)-\log_ax=\log_a\dfrac{x+h}{x}= \log_a(1+\frac{h}{x}),$

а разностное отношение --

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}f}{h}=\frac{1}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})= \frac{1}{... ...c{x}{h}\log_a(1+\frac{h}{x})= \frac{1}{x}\log_a(1+\frac{h}{x})^{\dfrac{x}{h}}.$

Теперь вычислим производную:

\begin{multline*} f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}f}{h}= \lim_{h\to0}\frac{1}... ...{1}{x}\log_ae=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln a}=\frac{1}{x\ln a}. \end{multline*}

При вычислении предела мы, во-первых, воспользовались непрерывностью логарифмической функции и переставили знаки предела и логарифма; во-вторых, сделали замену $ {\alpha}=\dfrac{h}{x}$, при этом $ {\alpha}\to0$ при $ h\to0$; в-третьих, был использован второй замечательный предел: $ \lim\limits_{{\alpha}\to0}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e$.

Из полученной формулы

$\displaystyle (\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}$

при $ a=e$ вытекает, что

$\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.$

        Пример 4.3   Найдём производную функции

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

При $ x\ne0$ вычислим производную как производную произведения:

$\displaystyle f'(x)=2x\sin\dfrac{1}{x}+x^2\cos\dfrac{1}{x}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)= 2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}.$

При $ x=0$ производную вычислим по формуле, служащей определением производной:

$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h\to0}\dfrac{h^2\sin\dfrac{1}{h}}{h}= \lim_{h\to0}h\sin\dfrac{1}{h}=0,$

поскольку получили предел произведения бесконечно малой величины $ h$ и ограниченной величины $ \sin\dfrac{1}{h}$. Итак, $ f'(0)=0$, однако это значение не является пределом $ f'(x)$ при $ x\to0$, то есть производная $ f'(x)$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода. Действительно, в выражении для $ f'(x)$ при $ x\ne0$ первое слагаемое $ 2x\sin\dfrac{1}{x}$ стремится к 0 при $ x\to0$, однако второе слагаемое $ -\cos\dfrac{1}{x}$ не стремится ни к какому пределу при $ x\to0$, совершая вблизи 0 бесконечно много колебаний.

Рис.4.5.Графики функции $ f(x)$ и её производной $ f'(x)$


Этот пример показывает, что производная, даже если она всюду существует, не обязана быть непрерывной функцией.  

Нормализация звука

Функция Normalize, как и функция Volume, увеличивает громкость звука, но несколько иным образом. Она сначала исследует файл на предмет самого высокого уровня сигнала, а потом вычитает этот уровень из максимально возможного, который равен 100% (или тому значению, которое вы установили). Функция Normalize использует получившуюся разность при увеличении громкости звуковых данных. В конце концов, самый высокий уровень сигнала в данном файле доводится до 100% (или до указанного вами значения), а более низкие уровни пропорционально увеличиваются.

Другими словами, если самый высокий уровень сигнала в вашем файле равен 80%, а максимально возможный уровень — 100%, то функция Normalize вычитает 80% из 100% и результат становится равен 20%. Затем громкость всех звуковых данных в вашем файле увеличивается на полученные 20%. Таким образом, вы можете использовать функцию Normalize, чтобы увеличить громкость ваших звуковых данных без последствий, т. е. без отсечения части данных. Контрольная работа по
теме интегралы

Чтобы использовать функцию Normalize, сделайте следующее:

1. Выделите в вашем файле данные, которые вы хотите нормализовать. Чтобы обработать весь файл, либо ничего не выделяйте, либо выделите все данные, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Normalize, чтобы открыть диалоговое окно Normalize Потенциальные и соленоидальные векторные поля Ротор векторного поля

3. Для параметра Normalize using включите переключатель Peak level (о переключателе Average RMS power (loudness) мы поговорим чуть позже).

4. Нажмите на кнопку Scan Levels, чтобы найти самый высокий уровень сигнала ваших звуковых данных.

5. Установите значение параметра Normalize to (-60 to 0 dB), перемещая соответствующий ползунок вверх или вниз. Таким образом вы установите максимально возможный уровень сигнала, который будет учитываться при нормализации. В большинстве случаев вам следует устанавливать значение, равное 100%, но если вы хотите в дальнейшем редактировать или обрабатывать ваши данные, лучше указать более низкий уровень, например 50% или —6 дБ. Дело в том, что во время обработки файла громкость может повыситься, и это послужит причиной отсечения части данных.