Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


Дифференциал

        Определение 4.3   Пусть дана функция $ f(x)$, и $ x_0$ -- внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение $ {\Delta}x$ и рассмотрим приращение функции

$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=f(x_0+{\Delta}x)-f(x_0).$

Если это приращение $ {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)$ можно представить в виде

$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}(x_0;{\Delta}x),$

где величина $ A(x_0)$ не зависит от приращения $ {\Delta}x$, а $ {\alpha}(x_0;{\Delta}x)$ -- бесконечно малая при базе $ {\Delta}x\to0$ величина, имеющая больший порядок малости, чем $ {\Delta}x$, то произведение $ A(x_0){\Delta}x$ называется дифференциалом функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначается $ df(x_0;{\Delta}x)$ или просто $ df$.     

Таким образом, дифференциал $ df=A(x_0){\Delta}x$ -- это функция двух аргументов $ x_0$ и $ {\Delta}x$, причём от переменного приращения $ {\Delta}x$ дифференциал зависит линейно ($ {\Delta}x$ входит в выражение, задающее $ {\Delta}f$, как множитель, стоящий в первой степени). Заметим, что в формуле

$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=df(x_0;{\Delta}x)+{\alpha}(x_0;{\Delta}x)$

второе слагаемое в правой части имеет порядок малости, больший, чем у $ {\Delta}x$, и, следовательно, при $ A(x_0)\ne0$ больший, чем у $ df(x_0;{\Delta}x)$. Поэтому дифференциал $ df=A(x_0){\Delta}x$ -- это главная, линейная по $ {\Delta}x$, часть приращения функции.

        Теорема 4.3   Функция $ f(x)$ имеет дифференциал $ df(x_0;{\Delta}x)$ в точке $ x_0$ тогда и только тогда, когда она имеет производную $ f'(x_0)$ в этой точке; при этом

$\displaystyle df(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x.$

        Доказательство.     Пусть функция $ f(x)$ имеет дифференциал, то есть её приращение можно представить в виде $ {\Delta}f=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}(x_0;{\Delta}x)$. Разделим обе части равенства на $ {\Delta}x$:

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=A(x_0)+\dfrac{{\alpha}(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}.$

При $ {\Delta}x\to0$ в правой части предел первого слагаемого равен $ A(x_0)$, поскольку эта величина не зависит от $ {\Delta}x$ и, следовательно, при вычислении предела считается постоянной. Далее,

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\alpha}(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}=0,$

так как, по определению дифференциала, $ {\alpha}$ имеет более высокий порядок малости, нежели $ {\Delta}x$. Значит, существует предел

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=A(x_0).$

Но этот предел, по определению, равен производной $ f'(x_0)$. Значит, функция имеет производную в точке $ x_0$, и $ f'(x_0)=A(x_0)$, откуда

$\displaystyle df=A(x_0){\Delta}x=f'(x_0){\Delta}x.$

Пусть теперь функция $ f(x)$ имеет производную $ f'(x_0)$. Это означает, что $ {\lim\limits_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}f}{{\Delta}x}=f'(x_0)}$. По теореме о связи пределов и бесконечно малых, это эквивалентно тому, что величина $ {{\beta}(x_0;{\Delta}x)=\dfrac{{\Delta}f(x_0;{\Delta}x)}{{\Delta}x}-f'(x_0)}$ является бесконечно малой. Умножим обе части последнего равенства на $ {\Delta}x$ и получим:

$\displaystyle {\Delta}f(x_0;{\Delta}x)=f'(x_0){\Delta}x+{\beta}(x_0;{\Delta}x){\Delta}x.$

Получили представление приращения функции в виде $ {\Delta}f=A(x_0){\Delta}x+{\alpha}$, где $ A(x_0)=f'(x_0)$, а величина $ {\alpha}={\beta}{\Delta}x$, очевидно, имеет больший порядок малости, чем $ {\Delta}x$, поскольку $ \dfrac{{\alpha}}{{\Delta}x}={\beta}\to0$ при $ {\Delta}x\to0$. Тем самым, функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ дифференциал, который имеет вид $ df=f'(x_0){\Delta}x$.     

Геометрический смысл дифференциала $ df(x_0;{\Delta}x)$ мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная $ f'(x_0)$ -- это угловой коэффициент $ k$ касательной к графику функции при $ x=x_0$, то дифференциал $ df=f'(x_0){\Delta}x=k{\Delta}x$ -- это приращение ординаты $ Y$ точки касательной

$\displaystyle Y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=kx+b$

к графику функции $ y=f(x)$, когда абсцисса точки касательной получает приращение $ {\Delta}x$:

$\displaystyle {\Delta}Y=(k(x_0+{\Delta}x)+b)-(kx_0+b)=k{\Delta}x.$

Рис.4.6.Дифференциал равен приращению ординаты касательной


        Замечание 4.6   Заметим, что для функции $ f(x)=x$ производная равна 1, так что дифференциал $ df(x;{\Delta}x)=dx$ равен $ 1\cdot{\Delta}x={\Delta}x$, то есть $ dx={\Delta}x$. Поэтому можно всюду вместо приращения независимой переменной $ {\Delta}x$ писать её дифференциал $ dx$. При этом получается, что для произвольной дифференцируемой функции $ f(x)$

$\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$

    

        Замечание 4.7   Часто в обозначении дифференциала функции пропускают второй аргумент $ dx={\Delta}x$, от которого $ df$ зависит линейно, и пишут короче:

$\displaystyle df(x)=f'(x)dx.$

Однако нужно чётко понимать, что это лищь сокращённая запись, и на самом деле дифференциал -- это функция двух аргументов $ x$ и $ dx$, линейная по $ dx$.     

        Замечание 4.8   Поскольку для функции $ y=f(x)$ дифференциал записывается как $ dy=df(x)=f'(x)dx$, то, деля на $ dx$, получаем

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{dy}{dx}(x),$

что придаёт смысл обозначению производной в виде отношения дифференциалов. Это обозначение было введено нами ранее, однако выше мы не придавали дроби $ \dfrac{dy}{dx}$ смысла некоторого отношения двух величин, а смогли сделать это только сейчас.     

Нормализация звука

Функция Normalize, как и функция Volume, увеличивает громкость звука, но несколько иным образом. Она сначала исследует файл на предмет самого высокого уровня сигнала, а потом вычитает этот уровень из максимально возможного, который равен 100% (или тому значению, которое вы установили). Функция Normalize использует получившуюся разность при увеличении громкости звуковых данных. В конце концов, самый высокий уровень сигнала в данном файле доводится до 100% (или до указанного вами значения), а более низкие уровни пропорционально увеличиваются.

Другими словами, если самый высокий уровень сигнала в вашем файле равен 80%, а максимально возможный уровень — 100%, то функция Normalize вычитает 80% из 100% и результат становится равен 20%. Затем громкость всех звуковых данных в вашем файле увеличивается на полученные 20%. Таким образом, вы можете использовать функцию Normalize, чтобы увеличить громкость ваших звуковых данных без последствий, т. е. без отсечения части данных. Контрольная работа по
теме интегралы

Чтобы использовать функцию Normalize, сделайте следующее:

1. Выделите в вашем файле данные, которые вы хотите нормализовать. Чтобы обработать весь файл, либо ничего не выделяйте, либо выделите все данные, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Normalize, чтобы открыть диалоговое окно Normalize Потенциальные и соленоидальные векторные поля Ротор векторного поля

3. Для параметра Normalize using включите переключатель Peak level (о переключателе Average RMS power (loudness) мы поговорим чуть позже).

4. Нажмите на кнопку Scan Levels, чтобы найти самый высокий уровень сигнала ваших звуковых данных.

5. Установите значение параметра Normalize to (-60 to 0 dB), перемещая соответствующий ползунок вверх или вниз. Таким образом вы установите максимально возможный уровень сигнала, который будет учитываться при нормализации. В большинстве случаев вам следует устанавливать значение, равное 100%, но если вы хотите в дальнейшем редактировать или обрабатывать ваши данные, лучше указать более низкий уровень, например 50% или —6 дБ. Дело в том, что во время обработки файла громкость может повыситься, и это послужит причиной отсечения части данных.