Назад Производная композиции    
Наверх: Производные и дифференциалы
Вперед: Производная обратной функции
Untitled Document

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции


Инвариантность дифференциала

Рассмотрим функцию $ y=f(u)$. Если предположить, что $ u$ -- независимая переменная, то

$\displaystyle dy=df(u;du)=f'_u(u)du.$

Если же рассматривать переменную $ u$ как промежуточный аргумент, зависящий от независимого переменного $ x$, то есть $ u={\varphi}(x)$, то $ y=f({\varphi}(x))$ -- это композиция, и дифференциал $ dy$ можно найти, применив формулу для производной сложной функции:

$\displaystyle dy{=}d(f\circ{\varphi})(x;dx)=(f\circ{\varphi})'_xdx= \Bigl(f'_u... ...phi}'(x)\Bigr)dx= f'_u({\varphi}(x))\Bigl({\varphi}'(x)dx\Bigr)=f'(u)du(x;dx),$

поскольку $ du(x;dx)={\varphi}'(x)dx$. Так что и в этом случае, как и в случае независимой переменной $ u$, верна формула $ dy=f'(u)du$, только теперь $ du$ понимается как дифференциал функции, а не независимого переменного.

Тот факт, что во всех случаях, независимо от предположения о том, чем является переменная $ u$, формула $ dy=f'(u)du$ имеет место, называется инвариантностью дифференциала.
Наверх: Производные и дифференциалы


Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ вторичка переработка полимеров сырье для поставщиков
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Предлагаем анализ систем планирования производства на сайте
Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры