Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Производная обратной функции

Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция, монотонная на интервале $ (a;b)$. Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция $ y=f(x)$ имеет обратную функцию $ x={\varphi}(y)$, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале $ (c;d)$, в который функция $ f$ переводит интервал $ (a;b)$. Пусть $ x_0\in(a;b)$ -- фиксированная точка и $ y_0=f(x_0)\in(c;d)$ -- точка, ей соответствующая. Тогда $ x_0={\varphi}(y_0)$.

        Теорема 4.5   Пусть функция $ f(x)$ имеет в точке $ x_0$ производную $ f'(x_0)\ne0$. Тогда обратная функция $ {\varphi}(y)$ имеет в соответствующей точке $ y_0$ производную $ {\varphi}'(y_0)$, которую можно отыскать по формуле

$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}.$(4.14)

        Доказательство.     Дадим аргументу $ x_0$ приращение $ {\Delta}x\ne0$, такое что $ {x_0+{\Delta}x\in(a;b)}$, и рассмотрим соответствующее приращение $ {\Delta}y$, определяемое равенством $ y_0+{\Delta}y=f(x_0+{\Delta}x)$. Тогда, очевидно, $ {y_0+{\Delta}y\in(c;d)}$; при этом $ {\varphi}(y_0+{\Delta}y)=x_0+{\Delta}x$, а из монотонности функции $ f$ следует, что $ {\Delta}y\ne0$. Поскольку как функция $ f$, так и функция $ {\varphi}$ непрерывны, то условия $ {\Delta}x\to0$ и $ {\Delta}y\to0$ эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции $ x={\varphi}(y)$ и запишем для него очевидное равенство:

$\displaystyle \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=\dfrac{1}{\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}.$

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при $ {\Delta}y\to0$ и учтём, что при этом $ {\Delta}x$ тоже стремится к 0:

$\displaystyle {\varphi}'(y_0)=\lim_{{\Delta}y\to0}\dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}=... ...1}{\lim\limits_{{\Delta}x\to0}\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

что мы и хотели доказать.     

Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{{\varphi}'(f(x))},$(4.15)

если $ {\varphi}(y)$ -- функция, обратная к $ f(x)$.

        Замечание 4.10   Нетрудно заметить из приведённого доказательства, что если существует производная $ f'(x_0)=0$, то разностное отношение $ \dfrac{{\Delta}x}{{\Delta}y}$ стремится к $ \infty$ при $ {\Delta}y\to0$, что соответствует вертикальной касательной к графику $ x={\varphi}(y)$ при $ y=y_0$ (если считать, что ось $ 0y$ расположена горизонтально, а ось $ Oy$ -- вертикально).     

Рис.4.7.Графики функций $ y=f(x)$ и $ x={\varphi}(y)$ и касательные к ним при $ f'(x_0)=0$


Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции $ y=f(x)$, так и обратной функции $ x={\varphi}(y)$ изображается на координатной плоскости $ xOy$ одной и той же линией, состоящей из точек $ (x;y)$, где $ y=f(x)$ или, что то же самое, $ x={\varphi}(y)$. Поэтому, если в точке $ (x_0;y_0)$ график функции $ y=f(x)$ имеет касательную, образующую угол $ {\alpha}$ с осью $ Ox$, то угол той же касательной с осью $ Oy$ будет, очевидно, равен $ \dfrac{\pi}{2}-{\alpha}$. Тогда

$\displaystyle {\varphi}(y_0)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\dfrac{\pi}{2}-{\alpha})... ...imits {\alpha}=\dfrac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}}=\dfrac{1}{f'(x_0)},$

поскольку для обратной функции $ {\varphi}(y)$ производная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси $ Oy$, на которой меняется аргумент функции $ {\varphi}$.

Рис.4.8.Углы, тангенсы которых равны $ f'(x_0)$ и $ {\varphi}'(y_0)$, дополняют друг друга до $ 90^{\circ}$

Нормализация звука

Функция Normalize, как и функция Volume, увеличивает громкость звука, но несколько иным образом. Она сначала исследует файл на предмет самого высокого уровня сигнала, а потом вычитает этот уровень из максимально возможного, который равен 100% (или тому значению, которое вы установили). Функция Normalize использует получившуюся разность при увеличении громкости звуковых данных. В конце концов, самый высокий уровень сигнала в данном файле доводится до 100% (или до указанного вами значения), а более низкие уровни пропорционально увеличиваются.

Другими словами, если самый высокий уровень сигнала в вашем файле равен 80%, а максимально возможный уровень — 100%, то функция Normalize вычитает 80% из 100% и результат становится равен 20%. Затем громкость всех звуковых данных в вашем файле увеличивается на полученные 20%. Таким образом, вы можете использовать функцию Normalize, чтобы увеличить громкость ваших звуковых данных без последствий, т. е. без отсечения части данных. Контрольная работа по
теме интегралы

Чтобы использовать функцию Normalize, сделайте следующее:

1. Выделите в вашем файле данные, которые вы хотите нормализовать. Чтобы обработать весь файл, либо ничего не выделяйте, либо выделите все данные, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Normalize, чтобы открыть диалоговое окно Normalize Потенциальные и соленоидальные векторные поля Ротор векторного поля

3. Для параметра Normalize using включите переключатель Peak level (о переключателе Average RMS power (loudness) мы поговорим чуть позже).

4. Нажмите на кнопку Scan Levels, чтобы найти самый высокий уровень сигнала ваших звуковых данных.

5. Установите значение параметра Normalize to (-60 to 0 dB), перемещая соответствующий ползунок вверх или вниз. Таким образом вы установите максимально возможный уровень сигнала, который будет учитываться при нормализации. В большинстве случаев вам следует устанавливать значение, равное 100%, но если вы хотите в дальнейшем редактировать или обрабатывать ваши данные, лучше указать более низкий уровень, например 50% или —6 дБ. Дело в том, что во время обработки файла громкость может повыситься, и это послужит причиной отсечения части данных.