| Наверх: Производные и дифференциалы |
|
| ||
|
|
||
|
| ||
Пусть
--
непрерывная функция, монотонная на интервале
.
Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция
имеет обратную функцию
,
которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале
,
в который функция
переводит интервал
.
Пусть
--
фиксированная точка и
--
точка, ей соответствующая. Тогда
.
Доказательство.
Дадим аргументу
приращение
,
такое что
,
и рассмотрим соответствующее приращение
,
определяемое равенством
.
Тогда, очевидно,
;
при этом
,
а из монотонности функции
следует, что
.
Поскольку как функция
,
так и функция
непрерывны, то условия
и
эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции
и запишем для него очевидное равенство:
Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный
геометрический смысл. Заметим, что график как функции
,
так и обратной функции
изображается на координатной плоскости
одной и той же линией, состоящей из точек
,
где
или, что то же самое,
.
Поэтому, если в точке
график функции
имеет касательную, образующую угол
с осью
,
то угол той же касательной с осью
будет, очевидно, равен
.
Тогда

| Наверх: Производные и дифференциалы |
| Физика лабы | ||||||||
| Ищите курсы массажа ? Приглашаем на курсы массажа в центре Дополнительного Образования | ||||||||
| ||||||||