Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Символ суммирования

В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись:

$\displaystyle \sum_{i=m}^nf(i),$

которая расшифровывается так

$\displaystyle \sum_{i=m}^nf(i)=f(m)+f(m+1)+\ldots+f(n),$(14.1)

где $ f(i)$ -- функция целочисленного аргумента. Здесь символ $ \sum$ (большая греческая буква "сигма") означает суммирование. Запись $ i=m$ внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой $ i$ и что начальное значение этой переменной равно $ m$ . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная $ i$ .

        Пример 14.2   Вычислим несколько сумм:

1) $ \displaystyle\sum_{i=1}^5 \frac 1i=\frac11+\frac12+\frac13+\frac14+ \frac15=\frac{137}{60}$ .

2) $ \displaystyle\sum_{i=2}^k m^i=m^2+m^3+m^4+\ldots+m^k$ . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным $ m^2$ и знаменателем прогрессии равным $ m$ , то эту сумму легко найти

$\displaystyle \sum\limits_{i=2}^k m^i=\frac{m^2(1-m^{k-1})}{1-m}.$

3) $ \displaystyle\sum\limits_{s=0}^4 2^{s^2}=2^0+2^1+2^4+2^9+2^{16}=66067$ .

4) $ \displaystyle\sum\limits_{j=1}^5(-1)^{j+1}\sqrt{2j+0.5}=\sqrt{2.5}-\sqrt{4.5}+ \sqrt{6.5}-\sqrt{8.5}+\sqrt{10.5}\approx 2.334223$ .

5) $ \displaystyle\sum\limits_{q=1}^n 1=\underbrace{1+1+\ldots+1}_n=n$ .         

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида $ \displaystyle \sum_{i=1}^na_i$ . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

$\displaystyle \sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\ldots+a_n.$

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}=\sum_{i=1}^k {\alpha}_i{\beta}_i,$(14.2)

где для трехмерного пространства $ k=3$ , для плоскости $ k=2$ .

Для единообразия будем считать, что

$\displaystyle \sum_{i=1}^1 a_i=a_1,$

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

        Замечание 14.1   Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например,

$\displaystyle \sum_{i=1}^3i^2=\sum_{j=1}^3j^2=\sum_{{\alpha}=1}^3{\alpha}^2=1+4+9=14.$

Или

$\displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ij}=a_{1j}+a_{2j}+\ldots+a_{nj},$

в правой части никакой буквы $ i$ нет, значит, и результат от $ i$ не зависит.         

        Предложение 14.1   Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:

$\displaystyle \sum_{k=1}^n{\alpha}a_k={\alpha}\sum_{k=1}^na_k.$

    

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

        Предложение 14.2  

$\displaystyle \sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^nb_k.$(14.3)

Это предложение является частным случаем следующего утверждения.

        Предложение 14.3  

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^ma_{ik}\right)=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^n a_{ik}\right).$(14.4)

        Доказательство.     Пусть

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^ma_{ik}\right).$

Тогда

\begin{multline*} S=\left(\sum_{i=1}^ma_{i1}\right)+\left(\sum_{i=1}^ma_{i2}\ri... ...{22}+\ldots+a_{m2})+\ldots+\\ +(a_{1n}+a_{2n}+\ldots+a_{mn}). \end{multline*}

Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов $ a_{ik}$ при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим

\begin{multline*} S=(a_{11}+a_{12}+\ldots+a_{1n})+(a_{21}+a_{22}+\ldots+a_{2n})... ...k=1}^na_{mk}=\\ =\sum_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^na_{ik}\right). \end{multline*}

Заменив в этом равенстве $ S$ в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).     

        Замечание 14.2   Двойные суммы из равенства (14.4) можно записывать и без использования скобок

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^ma_{ik}.$

        

Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов $ a_{ik}$ для всех допустимых значений индексов суммирования. По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.

Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида

$\displaystyle \sum_{i,j,k=1}^n a_{ijk}.$

Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись

$\displaystyle \sum_{\genfrac{}{}{0 pt}{1}{i,j=1}{i\ne j}}^n a_{ij}$

означает, что в сумму не включаются величины $ a_{11}$ , $ a_{22}$ ,..., $ a_{nn}$ , то есть $ a_{ij}$ с равными индексами.

Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,

$\displaystyle \sum_{i,j,k} a_{ij}b_{jk}.$

Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.

Нормализация звука

Функция Normalize, как и функция Volume, увеличивает громкость звука, но несколько иным образом. Она сначала исследует файл на предмет самого высокого уровня сигнала, а потом вычитает этот уровень из максимально возможного, который равен 100% (или тому значению, которое вы установили). Функция Normalize использует получившуюся разность при увеличении громкости звуковых данных. В конце концов, самый высокий уровень сигнала в данном файле доводится до 100% (или до указанного вами значения), а более низкие уровни пропорционально увеличиваются.

Другими словами, если самый высокий уровень сигнала в вашем файле равен 80%, а максимально возможный уровень — 100%, то функция Normalize вычитает 80% из 100% и результат становится равен 20%. Затем громкость всех звуковых данных в вашем файле увеличивается на полученные 20%. Таким образом, вы можете использовать функцию Normalize, чтобы увеличить громкость ваших звуковых данных без последствий, т. е. без отсечения части данных. Контрольная работа по
теме интегралы

Чтобы использовать функцию Normalize, сделайте следующее:

1. Выделите в вашем файле данные, которые вы хотите нормализовать. Чтобы обработать весь файл, либо ничего не выделяйте, либо выделите все данные, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Normalize, чтобы открыть диалоговое окно Normalize Потенциальные и соленоидальные векторные поля Ротор векторного поля

3. Для параметра Normalize using включите переключатель Peak level (о переключателе Average RMS power (loudness) мы поговорим чуть позже).

4. Нажмите на кнопку Scan Levels, чтобы найти самый высокий уровень сигнала ваших звуковых данных.

5. Установите значение параметра Normalize to (-60 to 0 dB), перемещая соответствующий ползунок вверх или вниз. Таким образом вы установите максимально возможный уровень сигнала, который будет учитываться при нормализации. В большинстве случаев вам следует устанавливать значение, равное 100%, но если вы хотите в дальнейшем редактировать или обрабатывать ваши данные, лучше указать более низкий уровень, например 50% или —6 дБ. Дело в том, что во время обработки файла громкость может повыситься, и это послужит причиной отсечения части данных.