Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

Применим полученную формулу производной обратной функции (точнее, формулу (4.15)) для нахождения производных некоторых элементарных функций.

        Пример 4.8   Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {{\varphi}(y)=\sin y}$ ( $ {-\frac{\pi}{2}\leqslant y\leqslant \frac{\pi}{2}}$), производная которой равна $ {{\varphi}'(y)=\cos y}$. Заметим, что при указанных значениях $ y$ выполнено неравенство $ {\cos y\geqslant 0}$, откуда $ {\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}}$ (корень берём со знаком $ +$). Поэтому по формуле (4.15):     $ f'(x)=\dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$     

        Пример 4.9   Аналогично отыщем производную функции $ f(x)=\arccos x$. Обратной к $ f(x)$ служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\cos y$ ( $ 0\leqslant y\leqslant \pi$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=-\sin y$. Заметим, что при $ 0\leqslant y\leqslant \pi$ выполнено неравенство $ \sin y\geqslant 0$, откуда $ \sin y=\sqrt{1-\cos^2y}$ (корень со знаком $ +$). Поэтому по формуле (4.15)

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{-\sin(\arccos x)}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}}= -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

Заметим однако, что тот же результат можно было бы гораздо легче получить, используя тригонометрическую формулу $ \arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$, откуда $ \arccos x=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x$ и $ (\arccos x)'=-(\arcsin x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$     

        Пример 4.10   Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\mathop{\rm tg}\nolimits y$ ( $ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=\dfrac{1}{\cos^2y}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2y$. Поэтому по формуле (4.15)

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)}=\dfrac{1}{1+x^2}.$

    

        Пример 4.11   Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arcctg}\nolimits x$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\mathop{\rm ctg}\nolimits y$ ($ 0<y<\pi$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=-\dfrac{1}{\sin^2y}=-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2y$. Поэтому по формуле (4.15)

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2(\mathop{\rm arcctg}\nolimits x)}=-\dfrac{1}{1+x^2}.$

Конечно, ту же формулу можно было получить из соотношения $ {\mathop{\rm arctg}\nolimits x+\mathop{\rm arcctg}\nolimits x=\dfrac{\pi}{2}}$, откуда $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x=\dfrac{\pi}{2}-\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и $ (\mathop{\rm arcctg}\nolimits x)'=-(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}.$     

        Пример 4.12   Найдём производную функции $ f(x)=a^x$ ($ a>0,\ a\ne1$). Обратной к ней служит функция $ {\varphi}(y)=\log_ay$, производная которой такова: $ {\varphi}'(y)=\dfrac{1}{y\ln a}$. Поэтому формула (4.15) даёт

$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^x\ln a}}=a^x\ln a.$

В частности, при $ a=e$ получаем

$\displaystyle (e^x)'=e^x.$

    

Выведем теперь формулы для производных гиперболических функций.

        Пример 4.13   Пусть $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$. Заметим, что

$\displaystyle (e^{-x})'=e^{-x}(-x)'=e^{-x}(-1)=-e^{-x}$

по формуле производной композиции (с промежуточным аргументом $ u=-x$). Тогда

$\displaystyle y'=(\mathop{\rm sh}\nolimits x)'=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})'= \frac{1}{2}(e^x-(-e^{-x}))= \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}))=\mathop{\rm ch}\nolimits x.$

    

        Пример 4.14   Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x= \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$:

$\displaystyle y'=(\mathop{\rm ch}\nolimits x)'=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})'= \frac{1}{2}(e^x+(-e^{-x}))= \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}))=\mathop{\rm sh}\nolimits x.$

    

        Пример 4.15   Найдём производную гиперболического тангенса $ \mathop{\rm th}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}$. Заметим для начала, что $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1$ (проверьте!). Далее, имеем:

$\displaystyle (\mathop{\rm th}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm sh}\nolimits x)... ...ts ^2x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2x.$

    

        Пример 4.16   Найдём производную гиперболического котангенса $ \mathop{\rm cth}\nolimits x=\dfrac{\mathop{\rm ch}\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}$. Имеем:

$\displaystyle (\mathop{\rm cth}\nolimits x)'=\dfrac{(\mathop{\rm ch}\nolimits x... ... ^2x}=-\dfrac{1}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x}=1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2x.$

    

        Упражнение 4.2   Выведите эти же 4 формулы для производных функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x,\mathop{\rm ch}\nolimits x,\mathop{\rm th}\nolimits x,\mathop{\rm cth}\nolimits x$, исходя из того, что это -- обратные функции к соответствующим ареа-функциям, производные которых мы уже нашли выше. При этом используйте формулу (4.15).

Обратно, исходя из доказанных формул для производных гиперболических функций, выведите при помощи формулы (4.15) формулы для производных ареа-функций.     

        Пример 4.17   Найдём теперь формулу для производной функции $ y=x^{{\alpha}}$ при произвольном вещественном $ {\alpha}$. Некоторые частные случаи (при $ {\alpha}=n\in\mathbb{Z}$, $ {\alpha}=\frac{1}{2}$) были нами разобраны выше.

Итак, пусть $ f(x)=x^{{\alpha}}$, $ {\alpha}\in\mathbb{R}$, $ x\in(0;+\infty)$. Запишем функцию в виде $ f(x)=e^{{\alpha}\ln x}$ и найдём её производную как производную композиции с промежуточным аргументом $ u={\alpha}\ln x$. Получаем тогда

$\displaystyle (x^{{\alpha}})'=(e^{{\alpha}\ln x})'= e^{{\alpha}\ln x}({\alpha}... ...\ln x}\dfrac{1}{x}={\alpha}x^{\\ al}\cdot\dfrac{1}{x}= {\alpha}x^{{\alpha}-1}.$

    

Применим теперь полученные формулы для вычисления некоторых производных.

        Пример 4.18   Найдём производную функции

$\displaystyle f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},$ при $\displaystyle x\ne0.$

При $ x=0$ функция имеет неустранимый разрыв первого рода, поскольку

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}f(x)= \lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2},$

а

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0-}f(x)= \lim\limits_{x\to0-}\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}=-\dfrac{\pi}{2}.$

Рис.4.9.График функции $ f(x)$


Теперь вычислим производную при $ x\ne0$: применяя формулу производной сложной функции, получаем

$\displaystyle f'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x})'=\dfrac{1}{1+\df... ...frac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\cdot\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)= -\dfrac{1}{1+x^2}.$

Рис.4.10.График производной $ f'(x)$


Заметим, что если бы не разрыв при $ x=0$, эта производная совпала бы с производной функции $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $. Это неспроста: дело в том, что если мы положим

$\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac... ...mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x>0, \end{array}\right. $

то $ g(x)$ будет совпадать с $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$ при всех $ x\ne0$. В то же время $ g(x)$ отличается на постоянное слагаемое от $ f(x)$ при $ x<0$, и поэтому производные у $ f(x)$ и у $ g(x)$ одинаковые.     

        Упражнение 4.3   Найдите производную функции

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right. $

Отдельно вычислите производную при $ {x\ne0}$ (как производную произведения) и производные слева и справа при $ {x=0}$ (пользуясь определением производной, как

Нормализация звука

Функция Normalize, как и функция Volume, увеличивает громкость звука, но несколько иным образом. Она сначала исследует файл на предмет самого высокого уровня сигнала, а потом вычитает этот уровень из максимально возможного, который равен 100% (или тому значению, которое вы установили). Функция Normalize использует получившуюся разность при увеличении громкости звуковых данных. В конце концов, самый высокий уровень сигнала в данном файле доводится до 100% (или до указанного вами значения), а более низкие уровни пропорционально увеличиваются.

Другими словами, если самый высокий уровень сигнала в вашем файле равен 80%, а максимально возможный уровень — 100%, то функция Normalize вычитает 80% из 100% и результат становится равен 20%. Затем громкость всех звуковых данных в вашем файле увеличивается на полученные 20%. Таким образом, вы можете использовать функцию Normalize, чтобы увеличить громкость ваших звуковых данных без последствий, т. е. без отсечения части данных. Контрольная работа по
теме интегралы

Чтобы использовать функцию Normalize, сделайте следующее:

1. Выделите в вашем файле данные, которые вы хотите нормализовать. Чтобы обработать весь файл, либо ничего не выделяйте, либо выделите все данные, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Normalize, чтобы открыть диалоговое окно Normalize Потенциальные и соленоидальные векторные поля Ротор векторного поля

3. Для параметра Normalize using включите переключатель Peak level (о переключателе Average RMS power (loudness) мы поговорим чуть позже).

4. Нажмите на кнопку Scan Levels, чтобы найти самый высокий уровень сигнала ваших звуковых данных.

5. Установите значение параметра Normalize to (-60 to 0 dB), перемещая соответствующий ползунок вверх или вниз. Таким образом вы установите максимально возможный уровень сигнала, который будет учитываться при нормализации. В большинстве случаев вам следует устанавливать значение, равное 100%, но если вы хотите в дальнейшем редактировать или обрабатывать ваши данные, лучше указать более низкий уровень, например 50% или —6 дБ. Дело в том, что во время обработки файла громкость может повыситься, и это послужит причиной отсечения части данных.