Назад   Производные некоторых элементарных функций  
Наверх: Производные и дифференциалы
Вперед: Производные высших порядков
Untitled Document

Ядерное оружие | Графика | Математика | Физика | Заказать диплом | Информатика | ТКМ | Электротехника | Атомная энергетика | Лекции


Сводка основных результатов о производных

Для удобства приведём полученные выше результаты в виде таблицы. Всюду в этой таблице $ u$ и $ v$ -- функции переменного $ x$, $ c$ -- постоянная. Производные элементарных функций приведены в предположении, что $ u=u(x)$ -- промежуточный аргумент сложной функции.

Правила дифференцирования
1$ (u+v)'=u'+v'$Эти два свойства выражают
2$ (cu)'=cu'$линейность операции дифференцирования
3$ (u-v)'=u'-v'$ 
4$ (uv)'=u'v+v'u$ 
5$ \bigl(\dfrac{u}{v}\bigr)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ 
6$ (f(u(x))'_x=f'_u(u(x))\cdot u'(x)$ 
7$ df(x;dx)=f'_x(x)dx$(и в том случае, когда $ x=x(t)$)
8Если функция $ {\varphi}(y)$ -- обратная к $ f(x)$,то $ {\varphi}'_y(y)=\dfrac{1}{f'({\varphi}(y))}$
9Если $ x={\varphi}(t),\;y=\psi(t)$,то $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$ (см. ниже)
   
Производные элементарных функций
1$ c'=0$ 
2 $ (u^n)'_x=nu^{n-1}\cdot u'_x,\; n\in\mathbb{R}$ 
3$ (a^u)'_x=a^u\ln a\cdot u'_x,\; a>0,a\ne1$,в частности, $ (e^u)'_x=e^uu'_x$
4$ (\log_au)'_x=\dfrac{u'_x}{u\ln a},\; a>0,a\ne1$,в частности, $ (\ln u)'_x=\dfrac{u'_x}{u}$
5$ (\sin u)'_x=\cos u\cdot u_x$ 
6$ (\cos u)'_x=-\sin u\cdot u_x$ 
7$ (\mathop{\rm tg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\cos^2x}=(1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2u)u'_x$ 
8$ (\mathop{\rm ctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sin^2x}=-(1+\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2u)u'_x$ 
9$ (\arcsin u)'_x=\dfrac{u'_x}{\sqrt{1-u^2}}$ 
10$ (\arccos u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sqrt{1-u^2}}$ 
11$ (\mathop{\rm arctg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1+u^2}$ 
12$ (\mathop{\rm arcctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{1+u^2}$ 
13$ (\mathop{\rm sh}\nolimits u)'_x=\mathop{\rm ch}\nolimits u\cdot u'_x$ 
14$ (\mathop{\rm ch}\nolimits u)'_x=\mathop{\rm sh}\nolimits u\cdot u'_x$ 
15$ (\mathop{\rm th}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2u}=(1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2u)u'_x$ 
16$ (\mathop{\rm cth}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2u}=(1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2u)u'_x$ 
17 $ (\mathop{\rm arsh}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\sqrt{u^2+1}}$ 
18$ (\mathop{\rm arch}\nolimits u)'_x=\pm\dfrac{u'_x}{\sqrt{u^2-1}}$ 
19 $ (\mathop{\rm arth}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1-u^2}$ 
20$ (\mathop{\rm arcth}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1-u^2}$ 
   
Наверх: Производные и дифференциалы

Физика лабы
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры