Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


Производные высших порядков

Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$. Эта функция $ f'$ называется производной функции $ f$, или первой производной от $ f$. (Иногда саму исходную функцию $ f$ называют нулевой производной и обозначают тогда $ f^{(0)}$.) Функция $ g_1(x)=f'(x)$, в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках $ x$ интервала $ (a;b)$, которую мы обозначим $ g_1'(x)=f''(x)$ и назовём второй производной функции $ f(x)$. Если предположить, что вторая производная $ g_2(x)=f''(x)$ существует во всех точках $ x\in(a;b)$, то она может также иметь производную $ g_2'(x)=f'''(x)$, называемую третьей производной функции $ f(x)$, и т. д. Вообще, $ n$-й производной функции $ f(x)$ называется производная от предыдущей, $ (n-1)$-й производной $ g_{n-1}(x)=f^{(n-1)}(x)$:

$\displaystyle f^{(n)}(x)=g'_{n-1}(x)=(f^{(n-1)}(x))',$

если эта производная существует. $ n$-я производная называется также производной $ n$-го порядка, а её номер $ n$ называется порядком производной.

При $ n=1;2;3$ первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: $ f'(x),f''(x),f'''(x)$ или $ y',y'',y'''$; при прочих $ n$ -- числом в скобках в верхнем индексе: $ f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),\dots$ или $ y^{(4)},y^{(5)},\dots$.

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная $ f'(x)$ задаёт мгновенную скорость изменения значений $ f(x)$ в момент времени $ x$, то вторая производная, то есть производная от $ f'(x)$, задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений $ f(x)$. Следовательно, третья производная -- это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, $ (f''(x))'=(f'(x))''$).

Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции, и мы обсудим его ниже.

        Пример 4.19   Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$. Первая производная равна

$\displaystyle f'(x)=(\sin^3x)'=3\sin^2x\cos x;$

далее находим

$\displaystyle f''(x)=3(\sin^2x\cos x)'=3(2\sin x\cos^2x-\sin^3x)=3\sin x(2\cos^2x-\sin^2x).$

    

        Пример 4.20   Пусть $ y=f(x)=e^{kx}$. Тогда

$\displaystyle y'=e^{kx}\cdot k=ke^{kx}; y''=k(e^{kx})'=ke^{kx}\cdot k=k^2e^{kx}; \dots; y^{(n)}=k^ne^{kx}; \dots.$

При $ k=1$ все производные оказываются равными исходной функции: $ (e^x)^{(n)}=e^x.$     

        Пример 4.21   Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$. Тогда

$\displaystyle y'=\cos x,\; y''=-\sin x,\;y'''=-\cos x,\;y^{(4)}=\sin x.$

Поскольку четвёртая производная $ y^{(4)}$ совпала с исходной функцией $ y$, то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при $ k=0;1;2;\dots$ получаем

$\displaystyle y^{(4k)}(x)=\sin x; y^{(4k+1)}(x)=\cos x; y^{(4k+2)}(x)=-\sin x; y^{(4k+3)}(x)=-\cos x.$

Заметим также, что

$\displaystyle y'=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad y''=-\sin x=\sin(x+2\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad y'''=-\cos x=\sin(x+3\frac{\pi}{2}),$   
$\displaystyle {}\quad\quad\quad\quad y^{(4)}=\sin x=\sin(x+4\frac{\pi}{2}).$   

Легко видеть, что имеет место общая формула:

$\displaystyle y^{(n)}=(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}).$

    

        Упражнение 4.4   Рассмотрите функцию $ y=\cos x$ и получите для её производных аналогичные формулы.     

        Упражнение 4.5   Найдите производные произвольного порядка $ n$ от гиперболических функций $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$.     

        Упражнение 4.6   Найдите производные произвольного порядка $ n$ от функции $ y=\ln x$. Придумайте формулу, позволяющую кратко записать выражение для $ y^{(n)}$; эта формула будет содержать знак факториала ( $ n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$).     

        Упражнение 4.7   Докажите, что вторая производная чётной функции является чётной функцией, а вторая производная нечётной функции -- нечётной функцией.     

Нормализация звука

Функция Normalize, как и функция Volume, увеличивает громкость звука, но несколько иным образом. Она сначала исследует файл на предмет самого высокого уровня сигнала, а потом вычитает этот уровень из максимально возможного, который равен 100% (или тому значению, которое вы установили). Функция Normalize использует получившуюся разность при увеличении громкости звуковых данных. В конце концов, самый высокий уровень сигнала в данном файле доводится до 100% (или до указанного вами значения), а более низкие уровни пропорционально увеличиваются.

Другими словами, если самый высокий уровень сигнала в вашем файле равен 80%, а максимально возможный уровень — 100%, то функция Normalize вычитает 80% из 100% и результат становится равен 20%. Затем громкость всех звуковых данных в вашем файле увеличивается на полученные 20%. Таким образом, вы можете использовать функцию Normalize, чтобы увеличить громкость ваших звуковых данных без последствий, т. е. без отсечения части данных. Контрольная работа по
теме интегралы

Чтобы использовать функцию Normalize, сделайте следующее:

1. Выделите в вашем файле данные, которые вы хотите нормализовать. Чтобы обработать весь файл, либо ничего не выделяйте, либо выделите все данные, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Normalize, чтобы открыть диалоговое окно Normalize Потенциальные и соленоидальные векторные поля Ротор векторного поля

3. Для параметра Normalize using включите переключатель Peak level (о переключателе Average RMS power (loudness) мы поговорим чуть позже).

4. Нажмите на кнопку Scan Levels, чтобы найти самый высокий уровень сигнала ваших звуковых данных.

5. Установите значение параметра Normalize to (-60 to 0 dB), перемещая соответствующий ползунок вверх или вниз. Таким образом вы установите максимально возможный уровень сигнала, который будет учитываться при нормализации. В большинстве случаев вам следует устанавливать значение, равное 100%, но если вы хотите в дальнейшем редактировать или обрабатывать ваши данные, лучше указать более низкий уровень, например 50% или —6 дБ. Дело в том, что во время обработки файла громкость может повыситься, и это послужит причиной отсечения части данных.