Линейная зависимость векторов

Пусть , c -- вектор, отличный от нуля, ${{\bf a}_1=2{\bf c}}$ , ${{\bf a}_2=3{\bf c}}$ . Попробуем, сложив векторы ${\bf a}_1$ и ${\bf a}_2$ с какими-то коэффициентами, получить 0. Во-первых, сумма $0\cdot {\bf a}_1+0\cdot{\bf a}_2$ равна нулю. Но нулевой набор коэффициентов нам ни о чем не говорит: сумма любых векторов с нулевыми коэффициентами равна нулю! Возьмем коэффициенты ${{\alpha}_1=1}$ , ${{\alpha}_2=-5}$ . Получим ${\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2= 2{\bf c}+(-5)(3{\bf c})=-13{\bf c}\ne0$ .

Возьмем коэффициенты 2 и 1: $2{\bf a}_1+{\bf a}_2=4{\bf c}+3{\bf c}=7{\bf c}\ne 0$ .

Возьмем коэффициенты 0 и 4: $0{\bf a}_1+4{\bf a}_2=12{\bf c}\ne 0$ .

Возьмем коэффициенты и 2: $-3{\bf a}_1+2{\bf a}_2=-6{\bf c}+6{\bf c}= 0$ . Ура! Ненулевые коэффициенты нашлись, значит, система векторов линейно зависима.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора ${\bf a}_1$ и ${\bf a}_2$ .

Рис.10.11.

Попробуем составить несколько линейных комбинаций с ненулевыми коэффициентами, чтобы получить нулевой вектор. Возьмем наборы коэффициентов , , , результаты на рисунке.

Рис.10.12.

Когда надоест перебирать различные комбинации коэффициентов, заметим, что если оба коэффициента не нулевые, то стороны параллелограмма при построении суммы будут ненулевыми и, следовательно, диагональ длины 0 получиться не может. Если один из коэффициентов равен нулю, а другой отличен от нуля, то линейная комбинация будет равна одному из векторов, умноженному на последний коэффициент, и тоже будет не равна нулю. Таким образом, вектор ${\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2$ будет равен нулю только при ${{\alpha}_1={\alpha}_2=0}$ . Поэтому система веторов ${\bf a}_1,{\bf a}_2$ является линейно независимой.

Из приведенных примеров можно сделать следующий вывод. Для того, чтобы установить, что система векторов является линейно зависимой, нужно перебирать все возможные наборы коэффициентов, в которых есть хотя бы одно ненулевое число. Как только получится, что линейная комбинация равна нулю, перебор останавливается, и заключаем, что система линейно зависима.

Для того, чтобы установить, что система векторов линейно независимая, нужно перебрать все (бесконечно много!) наборы коэффициентов, в которых есть хотя бы одно ненулевое число, и убедиться, что нулевой вектор никогда не получится. Только в этом случае делаем вывод, что система является линейно независимой.

В действительности линейная зависимость или линейная независимость системы векторов устанавливается другими методами, но об этом позже.

Другие главы электроного учебника "Высшая математика решение задач, примеры"
Функции и их графики

Основные обозначения и определения
Первый способ задания функции: табличный
Второй способ задания функции: с помощью формулы
Обзор некоторых элементарных функций
Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления
Композиция функций
Обратная функция
Упражнения

Пределы

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи
Общее определение предела
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
Общие свойства пределов
Первый и второй замечательные пределы
Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
Использование непрерывности функций при вычислении пределов
Сравнение бесконечно малых
Таблица эквивалентных бесконечно малых
Упражнения на вычисление пределов

Физика, математика лекции учебники курсовые студенту и школьнику

Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры

Управление системами Windows в корпоративной среде