Первый способ задания функции: табличный

Если множество $A=\mathcal{D}(f)$ конечно и состоит из

элементов $x_1,x_2,\dots,x_N$ , то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе $x\in A$ . Часто это делают в виде таблицы:

В верхней строке таблицы перечисляются все

элементов конечного множества

, а в нижней -- соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.

Пример 1.10 В отделе кадров составляют таблицу, в которой в первом столбце содержатся фамилии и инициалы работников, а во втором -- серии и номера их паспортов. Такая таблица задаёт функцию

-- соответствие между множеством

работников предприятия и множеством

кодов (код -- это серия и номер) паспортов. Полученная таблица может выглядеть, например, так:

Фамилия И.О. Паспорт: серия, номер

Абрамов В.П. II-СИ 356531

Бархударов Ш.Х. VII-ПЮ 785305

Виноградов А.В. XII-ЧФ 015628

Гусева Т.И. IV-БШ 764285

... ...

Определённая таким способом функция -- это инъекция, так как ни у каких двух человек не могут оказаться паспорта с одинаковым кодом (серия, номер).

Другая форма таблицы удобна для функции $f:A\to B$ , заданной на прямом произведении двух множеств

, то есть когда $A=\mathcal{D}(f)=A_1\times A_2$ , причём множества

конечные: $A_1=\{x_1^{(1)},x_1^{(2)},\dots,x_1^{(m)}\}$ и $A_2=\{x_2^{(1)},x_2^{(2)},\dots,x_2^{(n)}\}$ . Перечислим все элементы множества

по вертикали, а

-- по горизонтали. В пересечениях строки и столбца, содержащих элементы $x_1^{(i)}\in A_1$ и $x_2^{(j)}\in A_2$ , укажем значение функции $y_{ij}=f(x_{ij})$ , где $x_{ij}=(x_1^{(i)};x_2^{(j)})\in A_1\times A_2$ :

$A_1\diagdown A_2$	$x_2^{(1)}$	$x_2^{(2)}$	$\dots$	$x_2^{(n)}$
$x_1^{(1)}$	$y_{11}$	$y_{12}$	$\dots$	$y_{1n}$
$x_1^{(2)}$	$y_{21}$	$y_{22}$	$\dots$	$y_{2n}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$x_1^{(m)}$	$y_{m1}$	$y_{m2}$	$\dots$	$y_{mn}$

Как мы видим, задание такой функции эквивалентно заданию прямоугольной таблицы -- матрицы размера $m\times n$ , элементами которой являются элементы множества

Пример 1.11 В теории игр (одной из областей математики) рассматривается, в частности, такая задача. При взаимодействии двух партнёров

каждый из них может получить выигрыш, зависящий от вариантов действий каждого партнёра. Пусть множества вариантов действий (эти варианты называются стратегиями) партнёров конечны:

может выбирать одну из стратегий из множества ${\mathrm A}=\{{\alpha}_1,\dots,{\alpha}_m\}$ , а

-- из множества ${\mathrm B}=\{{\beta}_1,\dots,{\beta}_n\}$ . Если

выбрал стратегию ${\alpha}_i\; (i=1,...,m)$ , а

-- стратегию ${\beta}_j\; (j=1,...,n)$ , то однозначно определены выигрыши: у первого партнёра он равен числу $u_{ij}=f_1({\alpha}_i,{\beta}_j)$ , а у второго -- числу $v_{ij}=f_2({\alpha}_i,{\beta}_j)$ . Рассмотрим функцию $f: {\mathrm A}\times{\mathrm B}\to\mathbb{R}^2$ , такую что

$\displaystyle f:({\alpha}_i,{\beta}_j)\mapsto(f_1({\alpha}_i,{\beta}_j),f_2({\alpha}_i,{\beta}_j))=(u_{ij},v_{ij}).$

Эта функция называется функцией выигрышей или платёжным отображением игры. Её можно полностью задать, сведя все данные в таблицу вида

${\mathrm A}\diagdown {\mathrm B}$ ${\beta}_1$ ${\beta}_2$ $\dots$ ${\beta}_n$

${\alpha}_1$ $(u_{11},v_{11})$ $(u_{12},v_{12})$ $\dots$ $(u_{1n},v_{1n})$

${\alpha}_2$ $(u_{21},v_{21})$ $(u_{22},v_{22})$ $\dots$ $(u_{2n},v_{2n})$

$\dots$ $\dots$ $\dots$ $\dots$ $\dots$

${\alpha}_m$ $(u_{m1},v_{m1})$ $(u_{m2},v_{m2})$ $\dots$ $(u_{mn},v_{mn})$

то есть задав одну матрицу, элементы которой -- пары чисел $(u_{ij},v_{ij})$ , или же задав две числовые матрицы и размера $m\times n$ :

$\displaystyle f_1=\begin{pmatrix} u_{11}&u_{12}&\dots&u_{1n}\\ u_{21}&u_{22}... ...\\ \dots &\dots &\dots&\dots\\ v_{m1}&v_{m2}&\dots&v_{mn} \end{pmatrix}.$

Назад Основные обозначения и определения

Наверх: Функции и их графики

Вперед: Второй способ задания функции: с помощью формулы

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать диплом \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции

Фамилия И.О.	Паспорт: серия,	номер
Абрамов В.П.	II-СИ	356531
Бархударов Ш.Х.	VII-ПЮ	785305
Виноградов А.В.	XII-ЧФ	015628
Гусева Т.И.	IV-БШ	764285
...	...

${\mathrm A}\diagdown {\mathrm B}$	${\beta}_1$	${\beta}_2$	$\dots$	${\beta}_n$
${\alpha}_1$	$(u_{11},v_{11})$	$(u_{12},v_{12})$	$\dots$	$(u_{1n},v_{1n})$
${\alpha}_2$	$(u_{21},v_{21})$	$(u_{22},v_{22})$	$\dots$	$(u_{2n},v_{2n})$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
${\alpha}_m$	$(u_{m1},v_{m1})$	$(u_{m2},v_{m2})$	$\dots$	$(u_{mn},v_{mn})$