Назад Приближённое вычисление производных  
Наверх:Свойства дифференцируемых функций
Вперед: Производные и дифференциалы
Untitled Document



Примеры и упражнения

        Пример 4.25   Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.

Данная функция -- композиция функции $ y=\cos u$ и линейной функции $ u=2x+\dfrac{\pi}{4}$. По формуле производной композиции получаем:

$\displaystyle y'_x=y'_uu'_x=-\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})(2x+\dfrac{\pi}{4})'= -\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})\cdot2=-2\sin(2x+\dfrac{\pi}{4}).$

    

        Пример 4.26   Найдём производную функции $ y=\dfrac{2x^2-1}{2x^2+1}$.

Применим формулу для производной частного: $ (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$. В нашем случае $ u=2x^2-1$ и $ v=2x^2+1$. Получим:

$\displaystyle y'=\dfrac{(2x^2-1)'(2x^2+1)-(2x^2+1)'(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}= \dfrac{4x(2x^2+1)-4x(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}=\dfrac{8x}{(2x^2+1)^2}.$

    

        Пример 4.27   Найдём производную функции $ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$.

Наша функция имеет вид $ y=(\sin((\ln(x^2+4))^3))^2$, так что самой внешней является степенная функция $ y=u^2$, где $ u=\sin\ln^3(x^2+4)$. Затем следуют промежуточные функции $ v=(\ln(x^2+4))^3$, $ z=\ln(x^2+4)$, $ w=x^2+4$. В итоге имеем композицию $ y=u^2,\; u=\sin v,\; v=z^3,\; z=\ln w,\; w=x^2+4$. Последовательно пользуясь формулой производной композиции, получаем:

$\displaystyle y'_x=y'_u\cdot u'_v\cdot v'_z\cdot z'_w\cdot w'_x,$

или

$\displaystyle y'_x=2u\cdot\cos v\cdot3z^2\cdot\dfrac{1}{w}\cdot2x,$

или

\begin{multline*} y'_x=2\sin\ln^3(x^2+4)\cdot\cos\ln^3(x^2+4)\cdot3\ln^2(x^2+4)... ...+4)}{x^2+4}= \dfrac{6x\ln^2(x^2+4)\sin(2\ln^3(x^2+4))}{x^2+4}. \end{multline*}

        Пример 4.28   Найдём вторую производную функции $ y=x^2e^{-2x}$.

Сначала найдём первую производную:

$\displaystyle y'=(x^2e^{-2x})'=(x^2)'e^{-2x}+x^2(e^{-2x})'=2xe^{-2x}+x^2e^{-2x}\cdot(-2)= (2x-x^3)e^{-2x}.$

Затем отыщем вторую производную как производную от первой производной:

\begin{multline*} y''=(y')'=(2x-x^3)'e^{-2x}+(2x-x^3)(e^{-2x})'=\\ (2-3x^2)e^{-2x}+(2x-x^3)e^{-2x}(-2)=(2-3x^2-4x+2x^3)e^{-2x}. \end{multline*}

Ответ: $ y''=(2x^3-3x^2-4x+2)e^{-2x}$.     

        Пример 4.29   Найдём производную функции $ y(x)$, заданной параметрически:

$\displaystyle x=e^t+1; y=e^{2t}-1.$

Найдём сначала производные от $ x$ и $ y$ по переменной $ t$:

$\displaystyle x'_t=e^t,\quad y'_t=e^{2t}\cdot2=2e^{2t}.$

Затем найдём $ y'_x$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:

$\displaystyle y'_x=\dfrac{2e^{2t}}{e^t}=2e^t.$

Заметим, что $ 2e^t=2(x-1)$, так что можно получить явное выражение $ y'_x$ через $ x$:

$\displaystyle y'_x=2(x-1).$

(Это не удивительно, поскольку легко было заметить с самого начала, что $ y=(x-1)^2-1$, откуда $ y'=2(x-1)-0=2(x-1)$.)

Ответ: $ y'_x=2e^t=2(x-1).$     

        Пример 4.30   Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:

$\displaystyle x=\sin t^3;\; y=\cos t^2.$

Найдём сначала первую производную как функцию параметра $ t$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:

$\displaystyle y'_x=\dfrac{-\sin t^2\cdot2t} {\cos t^3\cdot3t^2}= -\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3}.$

Теперь положим $ z=y'_x$ и найдём производную от функции $ x=\sin t^3;\; z=-\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3},$ заданной параметрически. Имеем: $ x'_t=\cos t^3\cdot3t^2$ (эта производная была найдена нами раньше, при вычислении $ y'_x$) и

$\displaystyle z'_t=-\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\cos t^3)-(2\sin t^2)(3\cos t^3-9t^3\sin t^3)}% {9t^2\cos^2t^3}.$

Поэтому

\begin{multline*} y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}= -\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\co... ...^3-6\sin t^2\cos t^3+18t^3\sin t^2\sin t^3}% {27t^4\cos^3t^3}. \end{multline*}

Тот же самый результат можно было бы получить по формуле (4.17).     

        Пример 4.31   Зависимость между $ x$ и $ y$ задана формулой

$\displaystyle x^3y+xy^2+y^3-3x+5y+3=0.$

Найдём производную $ y'_x$.

Продифференцируем обе части равенства по $ x$, считая при этом $ y$ промежуточной переменной, зависящей от $ x$:

$\displaystyle 3x^2y+x^3y'_x+y^2+x\cdot2yy'_x+3y^2y'_x-3+5y'_x=0.$

Оставим в левой части слагаемые, содержащие $ y'_x$, а остальные перенесём в правую часть:

$\displaystyle y'_x(x^3+2xy+3y^2+5)=-3x^2y-y^2+3,$

откуда

$\displaystyle y'_x=\dfrac{3-3x^2y-y^2}{x^3+2xy+3y^2+5}.$

    

        Упражнение 4.8   Найдите производную справа при $ x=0$ от функции $ {f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}}$, если её доопределить при $ x=0$ так, чтобы она стала непрерывной справа в этой точке (покажите, что для этого нужно положить $ f(0)=\dfrac{\pi}{2}$).

Найдите также производную слева при $ x=0$, доопределив $ f(x)$ до непрерывности слева в этой точке.

Ответ: и та, и другая односторонние производные существуют и равны 0.     

        Упражнение 4.9   Найдите производные функций $ f(x)=\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x}$, $ g(x)=x\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x}$. Доопределите $ g(x)$ в точке 0 по непрерывности и отыщите при $ {x=0}$ левую и правую производные этой функции. Доопределите функцию $ f(x)$ двумя способами: так, чтобы она была непрерывна при $ {x=0}$ слева, и так, чтобы она была непрерывна справа. Для каждого из способов найдите в точке $ {x=0}$ соответствующую одностороннюю производную.

Наверх:Свойства дифференцируемых функций
Физика лабы
бензиновый погрузчик TCM
Элементарная математика Кратные интегралы Математический анализ
Векторный анализ Аналитическая геометрия Пределы функции Изучение функции Конспекты по математике Комплексные числа Дифференциальные уравнения Определенные интегралы Лекции по высшей математике Исследование функций Вычисление объема с помощью интегралов Алгеброические структуры