Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


Примеры и упражнения

        Пример 4.25   Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.

Данная функция -- композиция функции $ y=\cos u$ и линейной функции $ u=2x+\dfrac{\pi}{4}$. По формуле производной композиции получаем:

$\displaystyle y'_x=y'_uu'_x=-\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})(2x+\dfrac{\pi}{4})'= -\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})\cdot2=-2\sin(2x+\dfrac{\pi}{4}).$

    

        Пример 4.26   Найдём производную функции $ y=\dfrac{2x^2-1}{2x^2+1}$.

Применим формулу для производной частного: $ (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$. В нашем случае $ u=2x^2-1$ и $ v=2x^2+1$. Получим:

$\displaystyle y'=\dfrac{(2x^2-1)'(2x^2+1)-(2x^2+1)'(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}= \dfrac{4x(2x^2+1)-4x(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}=\dfrac{8x}{(2x^2+1)^2}.$

    

        Пример 4.27   Найдём производную функции $ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$.

Наша функция имеет вид $ y=(\sin((\ln(x^2+4))^3))^2$, так что самой внешней является степенная функция $ y=u^2$, где $ u=\sin\ln^3(x^2+4)$. Затем следуют промежуточные функции $ v=(\ln(x^2+4))^3$, $ z=\ln(x^2+4)$, $ w=x^2+4$. В итоге имеем композицию $ y=u^2,\; u=\sin v,\; v=z^3,\; z=\ln w,\; w=x^2+4$. Последовательно пользуясь формулой производной композиции, получаем:

$\displaystyle y'_x=y'_u\cdot u'_v\cdot v'_z\cdot z'_w\cdot w'_x,$

или

$\displaystyle y'_x=2u\cdot\cos v\cdot3z^2\cdot\dfrac{1}{w}\cdot2x,$

или

\begin{multline*} y'_x=2\sin\ln^3(x^2+4)\cdot\cos\ln^3(x^2+4)\cdot3\ln^2(x^2+4)... ...+4)}{x^2+4}= \dfrac{6x\ln^2(x^2+4)\sin(2\ln^3(x^2+4))}{x^2+4}. \end{multline*}

        Пример 4.28   Найдём вторую производную функции $ y=x^2e^{-2x}$.

Сначала найдём первую производную:

$\displaystyle y'=(x^2e^{-2x})'=(x^2)'e^{-2x}+x^2(e^{-2x})'=2xe^{-2x}+x^2e^{-2x}\cdot(-2)= (2x-x^3)e^{-2x}.$

Затем отыщем вторую производную как производную от первой производной:

\begin{multline*} y''=(y')'=(2x-x^3)'e^{-2x}+(2x-x^3)(e^{-2x})'=\\ (2-3x^2)e^{-2x}+(2x-x^3)e^{-2x}(-2)=(2-3x^2-4x+2x^3)e^{-2x}. \end{multline*}

Ответ: $ y''=(2x^3-3x^2-4x+2)e^{-2x}$.     

        Пример 4.29   Найдём производную функции $ y(x)$, заданной параметрически:

$\displaystyle x=e^t+1; y=e^{2t}-1.$

Найдём сначала производные от $ x$ и $ y$ по переменной $ t$:

$\displaystyle x'_t=e^t,\quad y'_t=e^{2t}\cdot2=2e^{2t}.$

Затем найдём $ y'_x$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:

$\displaystyle y'_x=\dfrac{2e^{2t}}{e^t}=2e^t.$

Заметим, что $ 2e^t=2(x-1)$, так что можно получить явное выражение $ y'_x$ через $ x$:

$\displaystyle y'_x=2(x-1).$

(Это не удивительно, поскольку легко было заметить с самого начала, что $ y=(x-1)^2-1$, откуда $ y'=2(x-1)-0=2(x-1)$.)

Ответ: $ y'_x=2e^t=2(x-1).$     

        Пример 4.30   Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:

$\displaystyle x=\sin t^3;\; y=\cos t^2.$

Найдём сначала первую производную как функцию параметра $ t$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:

$\displaystyle y'_x=\dfrac{-\sin t^2\cdot2t} {\cos t^3\cdot3t^2}= -\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3}.$

Теперь положим $ z=y'_x$ и найдём производную от функции $ x=\sin t^3;\; z=-\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3},$ заданной параметрически. Имеем: $ x'_t=\cos t^3\cdot3t^2$ (эта производная была найдена нами раньше, при вычислении $ y'_x$) и

$\displaystyle z'_t=-\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\cos t^3)-(2\sin t^2)(3\cos t^3-9t^3\sin t^3)}% {9t^2\cos^2t^3}.$

Поэтому

\begin{multline*} y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}= -\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\co... ...^3-6\sin t^2\cos t^3+18t^3\sin t^2\sin t^3}% {27t^4\cos^3t^3}. \end{multline*}

Тот же самый результат можно было бы получить по формуле (4.17).     

        Пример 4.31   Зависимость между $ x$ и $ y$ задана формулой

$\displaystyle x^3y+xy^2+y^3-3x+5y+3=0.$

Найдём производную $ y'_x$.

Продифференцируем обе части равенства по $ x$, считая при этом $ y$ промежуточной переменной, зависящей от $ x$:

$\displaystyle 3x^2y+x^3y'_x+y^2+x\cdot2yy'_x+3y^2y'_x-3+5y'_x=0.$

Оставим в левой части слагаемые, содержащие $ y'_x$, а остальные перенесём в правую часть:

$\displaystyle y'_x(x^3+2xy+3y^2+5)=-3x^2y-y^2+3,$

откуда

$\displaystyle y'_x=\dfrac{3-3x^2y-y^2}{x^3+2xy+3y^2+5}.$

    

        Упражнение 4.8   Найдите производную справа при $ x=0$ от функции $ {f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}}$, если её доопределить при $ x=0$ так, чтобы она стала непрерывной справа в этой точке (покажите, что для этого нужно положить $ f(0)=\dfrac{\pi}{2}$).

Найдите также производную слева при $ x=0$, доопределив $ f(x)$ до непрерывности слева в этой точке.

Ответ: и та, и другая односторонние производные существуют и равны 0.     

        Упражнение 4.9   Найдите производные функций $ f(x)=\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x}$, $ g(x)=x\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x}$. Доопределите $ g(x)$ в точке 0 по непрерывности и отыщите при $ {x=0}$ левую и правую производные этой функции. Доопределите функцию $ f(x)$ двумя способами: так, чтобы она была непрерывна при $ {x=0}$ слева, и так, чтобы она была непрерывна справа. Для каждого из способов найдите в точке $ {x=0}$ соответствующую одностороннюю производную.

Работа с фрагментами тишины

 

Программа Sound Forge предоставляет несколько функций, позволяющих управлять фрагментами тишины в звуковых данных. Бывают случаи, когда из вашего файла желательно удалить тишину, например неудобные паузы между вокальными пассажами или репликами диалога. Напротив, иногда в данные бывает полезно добавить фрагменты тишины — к примеру, чтобы создать паузу между музыкальными фразами. Справиться с этими задачами вам помогут функции Auto Trim/Crop, Insert Silence и Mute. Вычислить производную

Удаление фрагментов тишины

Функция Auto Trim/Crop автоматически удалит фрагменты тишины из звукового файла путем поиска в данных определенных характеристик, которые вы укажете. Чтобы обнаружить эти характеристики, функция Auto Trim/Crop использует цифровой шлюз сигнала. В зависимости от установленных вами параметров, шлюз сигнала открывается, когда функция Auto Trim/Crop обнаруживает часть данных, уровень сигнала (громкость) которой выше, чем тот, который вы указали. Эта часть данных расценивается как приемлемая и пропускается. Когда уровень сигнала падает ниже указанного вами, шлюз сигнала расценивает такую часть как конец секции (или начало фрагмента тишины) и закрывается. Затем функция Auto Trim/Crop ищет следующую секцию, имеющую достаточный уровень сигнала, и удаляет все данные между двумя секциями. Таким образом, обрабатывается вся выделенная вами область или весь файл.

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность