Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 
Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Существование решения системы линейных уравнений общего вида

        Определение 15.3   Система (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет.         

Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=1,\\ 2x_1+2x_2=2,\\ 3x_1+3x_2=3\end{array}\right.$(15.4)

имеет решение $ {x_1=2}$ , $ {x_2=-1}$ и даже имеет бесконечно много решений, а система из двух уравнений с тремя неизвестными

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0,\\ 2x_1+2x_2+2x_3=1\end{array}\right.$(15.5)

решений не имеет, то есть является несовместной.

Ответ на вопрос о совместности произвольной системы уравнений (15.1) дает приведенная ниже теорема.

        Определение 15.4   Расширенной матрицей системы линейных уравнений (15.1) называется матрица $ A^*$ , отличающаяся от матрицы $ A$ системы наличием дополнительного столбца из свободных членов:

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}&b_1\\ ... ...{2n}&b_2\\ \hdotsfor{5}\\ a_{m1}&a_{m2}&\dots&a_{mn}&b_m\end{array}\right).$

        

        Предложение 15.1   Ранг расширенной матрицы $ A^*$ либо равен рангу матрицы системы $ A$ , либо больше его на единицу.

        Доказательство.    Так как любая линейно независимая система столбцов матрицы $ A$ является линейно независимой системой столбцов матрицы $ A^*$ , то в силу предложения 14.26 $ {{\rm Rg}A\leqslant {\rm Rg}A^*}$ .

Пусть $ {{\rm Rg}A=r}$ . Предположим, что $ {{\rm Rg}A^*=r+k}$ , $ {k>1}$ . Тогда в матрице $ A^*$ есть линейно независимая система из $ {r+k}$ столбцов. Среди этих столбцов может быть только один, не принадлежащий матрице $ A$ . Тогда подсистема остальных $ {r+k-1}$ столбцов, принадлежащих матрице $ A$ , должна быть линейно независимой. Следовательно, $ {{\rm Rg}A\geqslant r+k-1}$ . Получили противоречие. Предположение, что $ {k>1}$ , неверно.     

        Теорема 15.2   (Теорема Кронекера-Капелли.) Система линейных уравнений (15.1) является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы $ A$ равен рангу расширенной матрицы $ A^*$ .

        Доказательство.     Оно распадается на два этапа.

1. Пусть система имеет решение. Покажем, что $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ .

Пусть набор чисел $ {({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_n)}$ является решением системы. Обозначим через $ a_i$ $ i$ -ый столбец матрицы $ A$ , $ {i=1,2,\dots,n}$ . Тогда $ {{\alpha}_1a_1+ {\alpha}_2a_2+\ldots+{\alpha}_na_n=b}$ , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы $ A$ . Пусть $ {r={\rm Rg}A}$ . Предположим, что $ {{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ . Тогда по предложению 15.1 $ {{\rm Rg}A^*=r+1}$ . Выберем в $ A^*$ базисный минор $ M$ . Он имеет порядок $ {r+1}$ . Столбец $ b$ свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы $ A$ . Столбец свободных членов в миноре $ M$ является линейной комбинацией столбцов матрицы $ A$ . В силу свойств определителя ( предложения 14.13, 14.18) $ {M={\alpha}_1M_1+{\alpha}_2M_2+\ldots+{\alpha}_nM_n}$ , где $ M_i$  -- определитель, который получается из минора $ M$ заменой столбца свободных членов на столбец $ a_i$ . Если столбец $ a_i$ проходил через минор $ M$ , то в $ M_i$ , будет два одинаковых столбца и, следовательно, $ {M_i=0}$ . Если столбец $ a_i$ не проходил через минор $ M$ , то $ M_i$ будет отличаться от минора порядка $ {r+1}$ матрицы $ A$ только порядком столбцов. Так как $ {{\rm Rg}A=r}$ , то $ {M_i=0}$ . Таким образом, $ {M={\alpha}_1\cdot 0+{\alpha}_2\cdot 0+\ldots +{\alpha}_n\cdot 0=0}$ , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что $ {{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ , неверно.

2. Пусть $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ . Покажем, что система имеет решение. Так как $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ , то базисный минор $ M$ матрицы $ A$ является базисным минором матрицы $ A^*$ . Пусть через минор $ M$ проходят столбцы $ {a_{i_1},\,a_{i_2}, \dots,\,a_{i_r}}$ . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице $ A^*$ столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

$\displaystyle b={\alpha}_1a_{i_1}+{\alpha}_2a_{i_2}+\ldots+{\alpha}_ra_{i_r}.$(15.6)

Положим $ {x_{i_1}={\alpha}_1}$ , $ {x_{i_2}={\alpha}_2}$ , $ \dots$ , $ {x_{i_r}={\alpha}_r}$ , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях $ {x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ получим

$\displaystyle x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n={\alpha}_1x_{i_1}+{\alpha}_2x_{i_2}+\ldots+{\alpha}_r x_{i_r}.$

В силу равенства (15.6) $ {x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n=b}$ . Последнее равенство означает, что набор чисел $ {x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ является решением системы. Существование решения доказано.     

В рассмотренной выше системе (15.4) $ {{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*=1}$ , и система является совместной. В системе (15.5) $ {{\rm Rg}A=1}$ , $ {{\rm Rg}A^*=2}$ , и система является несовместной.

        Замечание 15.3   Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить $ {\rm Rg}A$ и $ {\rm Rg}A^*$ , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.         

Работа с фрагментами тишины

 

Программа Sound Forge предоставляет несколько функций, позволяющих управлять фрагментами тишины в звуковых данных. Бывают случаи, когда из вашего файла желательно удалить тишину, например неудобные паузы между вокальными пассажами или репликами диалога. Напротив, иногда в данные бывает полезно добавить фрагменты тишины — к примеру, чтобы создать паузу между музыкальными фразами. Справиться с этими задачами вам помогут функции Auto Trim/Crop, Insert Silence и Mute. Вычислить производную

Удаление фрагментов тишины

Функция Auto Trim/Crop автоматически удалит фрагменты тишины из звукового файла путем поиска в данных определенных характеристик, которые вы укажете. Чтобы обнаружить эти характеристики, функция Auto Trim/Crop использует цифровой шлюз сигнала. В зависимости от установленных вами параметров, шлюз сигнала открывается, когда функция Auto Trim/Crop обнаруживает часть данных, уровень сигнала (громкость) которой выше, чем тот, который вы указали. Эта часть данных расценивается как приемлемая и пропускается. Когда уровень сигнала падает ниже указанного вами, шлюз сигнала расценивает такую часть как конец секции (или начало фрагмента тишины) и закрывается. Затем функция Auto Trim/Crop ищет следующую секцию, имеющую достаточный уровень сигнала, и удаляет все данные между двумя секциями. Таким образом, обрабатывается вся выделенная вами область или весь файл.

Векторное поле Поток векторного поля через поверхность