Дипломные работы, курсовые проекты на заказ, контрольные работы на заказ

 

Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии


Второй способ задания функции: с помощью формулы

Если множество $ A=\mathcal{D}(f)$ бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция $ f:x\mapsto y$ может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента $ x$ найти соответствующее ему значение $ y$, например:

$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \arcsin x,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[-1;1];$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x^2\mbox{, если }x\geqslant 0,\\ -x^2\mbox{, если }x<0, \end{array}\right.,\quad \mbox{ при }\mathcal{D}(f)=\mathbb{R};$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \sqrt[4]{x},$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=[0;+\infty);$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \ln(1-x),$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=(-\infty;1);$ 
$\displaystyle f(x)$$\displaystyle =$$\displaystyle \ln x_1x_2,$ при $\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1x_2>0\}\sbs\mathbb{R}^2.$ 

        Замечание 1.3   Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах $ A$, считаются различными. Так, функция $ f(x)=\arcsin x$ при $ x\in[0;1]$ и функция $ g(x)=\arcsin x$ при $ x\in[-1;1]$ -- это две разные функции, так как функция $ f$ устанавливает соответствие между точками множества $ [0;1]$ и некоторыми точками числовой прямой, а функция $ g$ -- между точками другого множества $ [-1;1]$ и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции -- "близкие родственники", так как $ {f(x)=g(x)}$ при всех $ {x\in[0;1]}$.     

        Определение 1.6   Если дана функция $ f:A\to B$, и $ \wt A\sbs A$, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции $ f$ только на элементах $ x\in\wt A$. Эта функция $ \wt f:\wt A\to B$ определена равенством $ \wt f(x)=f(x)$ при $ x\in\wt A$. Функция $ \wt f$ называется ограничением функции $ f$ на подмножество $ \wt A\sbs A$ её области определения $ A=\mathcal{D}(f)$ и обозначается $ f\vert _{\wt A}$, то есть $ \wt f=f\vert _{\wt A}$.     

        Пример 1.12   Пусть $ A=\mathbb{R}^2=\{(x;y):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$ -- числовая плоскость и функция $ f$ задана формулой

$\displaystyle f(x;y)=x^2+2xy-y^2.$

Рассмотрим на плоскости $ A$ подмножество -- прямую линию $ L$, заданную уравнением $ x+y=1$. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции $ f\vert _L$ точки только прямой $ L$. Ограничение $ f\vert _L(x;y)$ определено только при $ x+y=1$, поэтому его, кроме исходной формулы

$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2xy-y^2,\quad x+y=1,$

можно задать такими формулами:

$\displaystyle f\vert _L(x;y)=x^2+2x(1-x)-(1-x)^2=-2x^2+4x-1,\quad x+y=1$(1.1)

(так как $ y=1-x$ на прямой $ L$), или

$\displaystyle f\vert _L(x;y)=(1-y)^2+2(1-y)y-y^2=-2y^2+1,\quad x+y=1$(1.2)

(так как $ x=1-y$ на прямой $ L$). Во всех точках $ (x;y)$ прямой $ L$ все три формулы дают одно и то же значение функции $ f\vert _L$. Мы видим, что формула (1.1) даёт для $ f\vert _L$ те же значения, что функция одного переменного $ x$: $ f_1(x)=-2x^2+4x-1$, а формула (1.2) -- те же значения, что функция одного переменного $ y$: $ f_2(y)=-2y^2+1$.

Две последние функции называются параметризациями ограничения $ f\vert _L$.     

        Пример 1.13   Пусть $ f(x)=x_1^2+2x_1+3x_2-x_2^2$ -- функция, заданная во всех точках плоскости $ \mathbb{R}^2=\mathcal{D}(f)=\{(x_1,x_2)=x\}$. Пусть $ \wt A=l$ -- прямая $ x_2=1$ на плоскости $ \mathbb{R}^2$. Тогда функция $ \wt f(x)=f\vert _l(x)$ равна $ x_1^2+2x_1^+3\cdot1-1^2=x_1^2+2x_1+2$. Формально ограничение зависит от точек $ (x_1,x_2)$ плоскости $ \mathbb{R}^2$, но только таких, что $ x_2=1$. Поэтому задание этого ограничения $ \wt f(x_1,x_2)$ эквивалентно заданию числовой функции одного переменного $ g(x_1)=x_1^2+2x_1+2$. Функция $ g$ -- это одна из возможных параметризаций функции $ f\vert _l$.     

        Замечание 1.4   Во многих учебных примерах при задании функции $ f$ при помощи формулы не указывают область определения $ \mathcal{D}(f)$. При этом по умолчанию предполагается, что область определения $ \mathcal{D}(f)$ -- максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента $ x$, для которых задающее функцию $ f$ выражение $ f(x)$ имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область $ \mathcal{D}(f)$, если в этом возникнет необходимость.     

        Пример 1.14   Пусть функция $ f$ задана формулой

$\displaystyle f(x)=\sqrt{x^6+2x^3-5x^2+3x+7},\quad\mathcal{D}(f)\sbs\mathbb{R}.$

По умолчанию считается, что области $ \mathcal{D}(f)$ принадлежат все те точки $ x\in\mathbb{R}$, что $ {x^6+2x^3-5x^2+3x+7\geqslant 0}$. Разумеется, для каждой заданной точки $ x_0$ проверить это условие несложно, однако описать множество $ \mathcal{D}(f)$ в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить "в явном виде" данное неравенство.     

Если $ \mathcal{D}(f)$ -- это множество натуральных чисел $ \mathbb{N}$, то функция $ f:\mathbb{N}\to B$ называется последовательностью. Так как $ \mathbb{N}$ содержит бесконечное множество чисел $ 1,2,3,\dots$, то задать $ f$ в виде таблицы значений $ y_n=f(n)$, где $ n\in\mathbb{N}$, вообще говоря, нельзя. Однако если функция $ f(n)$ легко угадывается по своим значениям $ y_n$ при небольших $ n$, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.

        Пример 1.15   Пусть $ y_1=f(1)=1,y_2=f(2)=4,y_3=f(3)=9,\dots$. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что $ f(n)=n^2$ при любом $ n\in\mathbb{N}$. Эта формула не противоречит выписанным значениям $ f_1,f_2,f_3$ и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения $ f_1,f_2,f_3$, но, быть может, другие значения $ f_4=f(4),f_5=f(5),\dots$.     

        Упражнение 1.1   Придумайте другую формулу, дающую те же самые значения $ f_1,f_2,f_3$, но при всех прочих $ n$ ( $ n=4,5,6,\dots$) дающую значения, не равные $ n^2$.

Указание: попробуйте, например, отыскать эту формулу в виде $ f(n)=an^3+bn+c$, подобрав коэффициенты $ a,b,c$ так, чтобы формула была верна при $ n=1,2,3$. Получится система трёх линейных уравнений для трёх неизвестных $ a,b,c$, рещив которую, вы найдёте, что $ f(n)=\frac{1}{6}n^3+\frac{11}{6}n-1$.     

В некоторых случаях члены последовательности, то есть значения $ f_n=f(n)$ для $ n\in\mathbb{N}$, удобно не задавать при помощи указания явной зависимости $ f(n)$, а вычислять рекуррентно, то есть вычислять каждый последующий член по значениям нескольких предыдущих:

$\displaystyle f(n)=F(f(n-1),f(n-2),\dots).$

        Пример 1.16   Последовательность чисел Фибоначчи $ f_n$ задаётся так: два первых члена полагают равными единице ( $ f_1=1,f_2=1$), а при $ n\geqslant 3$ вычисляют $ f_n$ по формуле $ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$. Таким образом, $ f_3=1+1=2,f_4=2+1=3,f_5=3+2=5,f_6=5+3=8$ и т. д.1     

        Упражнение 1.2   Подберите коэффициенты $ a$ и $ b$ в формуле

$\displaystyle f_n=a\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n+ b\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$(1.3)

так, чтобы при $ n=1$ и $ n=2$ число $ f_n$ было числом Фибоначчи. Докажите, что тогда формула (1.3) даёт значение $ f_n$, равное числу Фибоначчи и при всех $ n\geqslant 3$.

Пусть $ {\alpha}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ (это один из корней уравнения $ x^2-x-1=0$, служащего характеристическим уравнением возвратной последовательности $ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$). Покажите, что

$\displaystyle f_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}({\alpha}^n-(-{\alpha})^{-n})$

при всех $ n\in\mathbb{N}$ (формула Бине); выведите из этой формулы, что $ f_n$ -- это ближайшее к $ \dfrac{1}{\sqrt{5}}{\alpha}^n$ целое число.     

Изменение громкости звука

 

Одна из основных операций со звуковыми данными — это изменение их уровня сигнала (громкости). Существует бесчисленное множество причин, которые могут побудить вас изменить громкость файла, поэтому программа Sound Forge предоставляет несколько различных функций, позволяющих справиться с этой задачей. Эти функции называются Volume, Fade и Normalize. Методы интегрирования

Функция Volume

Чтобы просто увеличить или уменьшить уровень сигнала для выделенной области или всего файла, вам нужно воспользоваться функцией Volume. Вот как работает эта функция:

1. Создайте в вашем файле выделенную область, громкость которой вы хотите изменить. Если вы хотите обработать файл полностью, тогда либо вообще не выделяйте данные, либо выделите их полностью, выбрав команду меню Edit -> Select All.

2. Выберите команду меню Process -> Volume, чтобы открыть диалоговое окно Volume (рис. 8.15). Решение примерного варианта контрольной работы по математике

3. Чтобы изменить громкость ваших данных, выберите значение параметра Gain (-Inf. to 20 dB). Чтобы увеличить громкость, передвиньте ползунок вверх, а чтобы уменьшить — вниз. С помощью этого метода вы не сможете установить абсолютное значение. Громкость просто будет увеличена или уменьшена на ту величину, которую вы определите.