Упражнения

Упражнение 6.5 Найдите разложение по формуле Тейлора в точке

функций
а) $f(x)=e^{-x}$ ;
б) $f(x)=e^{3x}$ ;
в) $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$ ;
г) $f(x)=\sin x^2$ ;
д) $f(x)=\cos3x$ ;
е) $f(x)=\mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}$ ;
ж) $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ ;
з) $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ .

Ответы:

а) $e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^n}{n!}+ R_n(x)$ ;

б) $e^{3x}=1+3x+\dfrac{3^2}{2!}x^2-\dfrac{3^3}{3!}x^3+\ldots+ (-1)^n\dfrac{3^n}{n!}x^n+R_n(x)$ ;

в) $e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{2^22!}- \dfrac{x^6}{2^33!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{2^nn!}+R_{2n+1}(x)$ ;

г) $\sin x^2=x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\frac{x^{14}}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{4k-2}}{(2k-1)!}+R_{4k+1}(x)$ ;

д) $\cos3x=1-\frac{3^2}{2!}x^2+\frac{3^4}{4!}x^4-\frac{3^6}{6!}x^6+\ldots+ (-1)^k\frac{3^{2k}}{(2k)!}x^{2k}+R_{2k+1}(x)$ ;

е) $\mathop{\rm ch}\nolimits \sqrt{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{4!}+\frac{x^3}{6!}+\ldots+ \frac{x^k}{(2k)!}+R_k(x)$ ;

ж) $\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots+(-1)^kx^{2k}+R_{2k+1}(x)$ ;

з) $\sqrt{1-x^2}=1+\dfrac{1}{2}x^2+ \dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}x^4+ \dfrac{1\cdot3\... ...1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot4\cdot\ldots\cdot(2k)}x^{2k}+ R_{2k+1}(x)$ .

Упражнение 6.6 Найдите следующие пределы, применив разложение числителя и знаменателя по формуле Тейлора:
а) $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{x^3}-1-x^3}{\sin3x^2-3x^2}$ ;
б) $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\ln(1-x^2)+x^2+\frac{x^4}{2}}{e^{2x^2}-1-2x^2-2x^4}$ .

Ответы:
а) $-\frac{1}{9}$ ;
б) $-\frac{1}{4}$ .

Другие главы электроного учебника "Высшая математика решение задач, примеры"
Поверхности второго порядка
Эллипсоид
Гиперболоиды
Конус
Параболоиды
Цилиндры
Параллельный перенос системы координат

Матрицы

Определение, обозначения и типы матриц
Сложение матриц и умножение на число
Символ суммирования
Умножение матриц
Транспонирование матрицы
Определители
Обратная матрица
Ранг матрицы

Системы линейных уравнений

Правило Крамера
Существование решения системы линейных уравнений общего вида
Однородная система уравнений
Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Ядерное оружие \| Графика \| Математика \| Физика \| Заказать диплом \| Информатика \| ТКМ \| Электротехника \| Атомная энергетика \| Лекции