Начертательная геометрия Практикум по решению задач Геометрическое черчение Инженерная графика ЕСКД Кратные интегралы Математический анализ Матрицы Пределы Производные Векторная алгебра Интегральное исчисление ТФКП Ядерная физика Электростатика Магнетизм Оптика Информационные технологии

Асимптоты графика функции

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции $ y=f(x)$ называется вертикальная прямая $ x=a$, если $ f(x)\to+\infty$ или $ f(x)\to-\infty$ при каком-либо из условий: $ x\to a+$, $ x\to a-$, $ x\to a$. Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка $ a$ принадлежала области определения функции $ f(x)$, однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: $ (a-{\delta};a)$ или $ (a;a+{\delta})$, где $ {\delta}>0$.     

        Пример 7.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x-1}$. График $ y=f(x)$ имеет вертикальную асимптоту $ x=1$, поскольку при $ x\to1+$ выполняется условие $ \frac{1}{x-1}\to+\infty$, а также при $ x\to1-$ выполняется условие $ \frac{1}{x-1}\to-\infty$.     

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции $ f(x)=\frac{1}{x-1}$


        Пример 7.2   Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$. Её график имеет вертикальную асимптоту $ x=0$, так как $ e^{\frac{1}{x}}\to+\infty$ при $ x\to0+$. То, что при $ x\to0-$ функция $ f(x)$ не стремится к бесконечности, для наличия асимптоты неважно: для того, чтобы прямая $ x=0$ являлась вертикальной асимптотой, достаточно, чтобы график приближался к ней хотя бы с одной стороны. (К слову сказать, $ e^{\frac{1}{x}}\to0+$ при $ x\to0-$.)     

Рис.7.2.Вертикальная асимптота функции $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$


        Пример 7.3   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\ln x$. Прямая $ x=0$ является вертикальной асимптотой графика $ y=f(x)$, так как $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to0+$. Заметим, что слева от точки $ x=0$ функция вообще не определена.     

Рис.7.3.Вертикальная асимптота функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\ln x$


        Пример 7.4   График функции $ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет при $ x=0$ вертикальной асимптоты, так как $ f(x)$ -- ограниченная (числом 1) и, следовательно, локально ограниченная при $ x\to0$ и не стремящаяся к бесконечности функция. Хотя аргумент синуса -- функция $ g(x)=\dfrac{1}{x}$ -- имеет вертикальную асимптоту $ x=0$.     

Рис.7.4.График функции $ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет вертикальной асимптоты


        Пример 7.5   Прямая $ x=0$ не является вертикальной асимптотой графика функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$, поскольку здесь нельзя утверждать, что при $ x\to0-$ или $ x\to0+$ функция стремится к бесконечности. При некоторых малых значениях $ \vert x\vert$ значения $ \vert f(x)\vert$ могут быть как угодно велики, однако при других малых $ \vert x\vert$ функция обращается в 0: так, при $ x=\pm\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+n\pi}$ ($ n\in\mathbb{N}$) значения функции равны $ \dfrac{1}{x}$ и стремятся к бесконечности при $ n\to\infty$, а при всех $ x$ вида $ x=\pm\dfrac{1}{n\pi}$ ($ n\in\mathbb{N}$) значения функции равны 0. В то же время как те, так и другие точки $ x$ при увеличении $ n$ попадают всё ближе и ближе к точке 0. Значит, функция $ f(x)$ не является бесконечно большой при $ x\to0\pm$, и прямая $ x=0$ -- не асимптота.     

Рис.7.5.График функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет вертикальной асимптоты


Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности.

        Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции $ {y=f(x)}$ при $ {x\to+\infty}$ называется прямая $ y=kx+b$, если выполнены два условия:
1) некоторый луч $ (a;+\infty)$ целиком содержится в $ \mathcal{D}(f)$;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $ x\to+\infty$:

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]=0.$(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции $ y=f(x)$ при $ x\to-\infty$ называется прямая $ y=kx+b$, если
1) некоторый луч $ (-\infty;a)$ целиком содержится в $ \mathcal{D}(f)$;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $ x\to-\infty$:

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}[f(x)-(kx+b)]=0.$

    

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при $ x\to+\infty$ и при $ x\to-\infty$


В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при $ k=0$, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая $ y=c=\mathrm{const}$ является горизонтальной асимптотой графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$ или $ x\to-\infty$, если

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=с$

или

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=с$

соответственно.

        Пример 7.6   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$. График этой функции имеет наклонную асимптоту $ y=\dfrac{x}{2}$ при $ x\to+\infty$. Действительно,

$\displaystyle f(x)-\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to0$ при $\displaystyle x\to+\infty.$

Однако эта функция не определена ни на каком луче вида $ (-\infty;a)$, так что её график не может иметь асимптоты при $ x\to-\infty$.     

Рис.7.7.Наклонная асимптота функции $ f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$


        Пример 7.7   График функции $ f(x)=1+\dfrac{1}{x-1}$ имеет горизонтальную асимптоту $ y=1$ как при $ x\to+\infty$, так и при $ x\to-\infty$, поскольку, очевидно, $ f(x)\to1$ при $ x\to\pm\infty$. Можно сказать также, что асимптота при $ x\to-\infty$ у этого графика совпадает с асимптотой при $ x\to+\infty$.     

Рис.7.8.Горизонтальная асимптота функции $ f(x)=1+\dfrac{1}{x-1}$


Аналогично определению наклонной асимптоты можно дать также более общее определение:

        Определение 7.3   Линия $ y={\varphi}(x)$ называется асимптотической линией графика функции $ f(x)$ при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$), если обе эти функции определены на некотором луче $ (a;+\infty)$ (или луче $ (-\infty;a)$) и разность ординат графиков стремится к 0 при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$, соответственно).     

Если функция $ {\varphi}(x)$ -- линейная, то есть график $ y={\varphi}(x)$ -- наклонная прямая, то асимптотическая линия -- это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.

        Пример 7.8   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2+\frac{1}{x}$. При $ x\to\pm\infty$ график этой функции имеет асимптотическую линию $ y=x^2$, поскольку разность между $ f(x)$ и $ {{\varphi}(x)=x^2}$, равная, очевидно, $ \frac{1}{x}$, стремится к 0 при $ x\to\pm\infty$.     

Рис.7.9.Асимптотическая линия $ y=x^2$ графика функции $ f(x)=x^2+\frac{1}{x}$


        Замечание 7.1   Функции $ {\varphi}(x)$ и $ f(x)$ входят в определение асимптотической линии симметрично: если график $ y={\varphi}(x)$ -- асимптотическая линия для графика $ y=f(x)$, то и $ y=f(x)$ -- асимптотическая линия для $ y={\varphi}(x)$. На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен.     

        Пример 7.9   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x+e^{-x}$. Так как $ e^{-x}\to0$ при $ {x\to+\infty}$, то естественно рассматривать график $ y=\sin x$ как асимптотическую линию при $ {x\to+\infty}$ для графика исследуемой функции $ f(x)$.     

Рис.7.10.Асимптотическая линия $ y=\sin x$ для графика функции $ f(x)=\sin x+e^{-x}$ при $ x\to+\infty$


Вернёмся к наклонным асимптотам -- прямым линиям с уравнением $ y=kx+b$. Для их нахождения в тех случаях, когда значения $ k$ и $ b$ не очевидны, можно применять следующую теорему.

        Теорема 7.1   Прямая $ y=kx+b$ служит наклонной асимптотой для графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$) в том и только том случае, когда

$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$(7.2)

и

$\displaystyle b=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]$(7.3)

(соответственно, если

$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ и $\displaystyle b=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]).$

Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится $ {k=0}$) асимптоты достаточно найти два указанных предела $ k$ и, затем, $ b$. Прямая $ {y=kx+b}$ будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.

        Доказательство теоремы.     Докажем теорему в случае $ x\to+\infty$; доказательство при $ x\to-\infty$ проводится совершенно аналогично.

Перепишем условие (7.1), задающее асимптоту, в виде

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]= \lim_{x\to+\infty}x[\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}]=0.$

Так как первый множитель $ x\to+\infty$, то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}]=0.$

Но $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{b}{x}=0$ и $ \lim\limits_{x\to+\infty}k=k$, так что

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}-k=0,$

откуда следует равенство (7.2). Теперь число $ k$ уже известно.

Подставляя это число в формулу (7.1), находим, что

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]= \lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]-b=0,$

откуда следует равенство (7.3).     

        Пример 7.10   Найдём наклонные асимптоты графика $ y=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$.

Попробуем отыскивать сразу оба предела, и при $ x\to+\infty$, и при $ x\to-\infty$.

$\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-x+3}{x(x-1)}= \lim_{x\to\infty}\dfrac{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=2;$

$\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}[\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}-2x]= \lim_{x\to\infty}... ...fty}\dfrac{x+3}{x-1}= \lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}}=1.$

Итак, и при $ x\to+\infty$, и при $ x\to-\infty$ имеем $ k=2$ и $ b=1$, так что обе наклонные асимптоты совпадают друг с другом и имеют уравнение $ y=2x+1$, то есть, фактически, асимптота только одна.     

Рис.7.11.График $ y=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$ и его наклонная асимптота


        Замечание 7.2   Из определения асимптоты не следует, что если асимптоты при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ для одного и того же графика существуют, то они непременно совпадают. Это могут быть и различные прямые, как показывает следующий простой пример.     

        Пример 7.11   Рассмотрим график $ y=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$. При $ x\to-\infty$ график приближается к горизонтальной асимптоте $ y=-\frac{\pi}{2}$, а при $ x\to+\infty$ -- к другой горизонтальной асимптоте $ y=\frac{\pi}{2}$.     

Рис.7.12.График арктангенса имеет две разных горизонтальных асимптоты


Различными могут оказаться и не обязательно горизонтальные асимптоты:

        Пример 7.12   Рассмотрим функцию $ f(x)=2\sqrt{x^2+x+1}-x$. Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом.

Сначала найдём асимптоту $ y=kx+b$ при $ x\to+\infty$. Согласно доказанной теореме, имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}= \lim_{x\to+\infty}(2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=2-1=1;$

\begin{multline*} b=\lim_{x\to+\infty}[(2\sqrt{x^2+x+1}-x)-x]= 2\lim_{x\to+\in... ...}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}= 2\cdot\frac{1}{2}=1. \end{multline*}

Таким образом, при $ x\to+\infty$ наклонной асимптотой служит прямая $ y=x+1$.

Теперь найдём асимптоту при $ x\to-\infty$. Имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}= \lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1).$

Поскольку $ x\to-\infty$, мы можем считать, что в допредельном выражении $ x<0$. В полученной дроби поделим числитель и знаменатель на положительное число $ (-x)$. Тогда под корнем нужно будет поделить на $ (-x)^2=x^2$, и получится:

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1)= \lim_{x\to-\infty}(-2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=-2-1=-3.$

Вычисление $ b$ проведите сами в качестве упражнения. При этом получается $ b=-1$, так что наклонная асимптота при $ x\to-\infty$ имеет уравнение $ y=-3x-1$.     

Рис.7.13.График $ y=2\sqrt{x^2+x+1}-x$ и его две наклонных асимптоты


        Замечание 7.3   Если график $ y=f(x)$ имеет асимптоту $ y=kx+b$ (например, при $ x\to+\infty$) и существует предел производной:

$\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}f'(x),$

то $ k=l$. Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17.

Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная $ f'(x)$ не имеет никакого предела при $ x\to+\infty$. Дело в том, что значения $ f(x)$ могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.     

        Пример 7.13   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^2+x$. Очевидно, что прямая $ y=x$ -- это асимптота графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$, так как первое слагаемое имеет предел, равный 0, при $ x\to+\infty$. Однако вычисление производной даёт

$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\sin x^2+2\sin x^2,$

а эта функция при росте $ x$ совершает колебания, причём при больших $ x$ второе слагаемое становится пренебрежимо малым, и значения $ f'(x)$ колеблются примерно между $ -1$ и 3. Следовательно, производная не имеет предела при $ x\to+\infty$.

Если же рассмотреть функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^3+x$, то её производная оказывается даже неограниченной на любом луче вида

Выберите новую разрядность для вашего звукового файла, используя раскрывающийся список Bit-depth.

 Совет

Если вы повысите разрядность вашего файла, это не повлечет улучшения его качества. Например, если у вас был 8-битный звуковой файл и вы повысили его разрядность до 16 битов, он все равно будет звучать как 8-битный, поскольку именно с такой разрядностью он был записан. Но есть, по крайней мере, один плюс, связанный с повышением разрядности файла, — увеличится его разрешение, и дальнейшее редактирование и обработка этого файла не приведут к появлению шумов. Например, если вы хотите отредактировать 8-битный звуковой файл, не помешает повысить его разрядность. С другой стороны, если вы понизите разрядность звукового файла, это как раз понизит его качество, поэтому если вы решили это сделать, не забудьте создать резервную копию оригинала. Например, если у вас есть 24-битный звуковой файл и вы хотите снизить его разрядность до 16 битов, чтобы иметь возможность записать его на компакт-диск, обязательно сохраните копию 24-битной версии для последующего редактирования и обработки.

3. Выберите вариант из раскрывающегося списка Dither. Этот параметр позволяет определить, сколько дополнительного шума вы хотите наложить на сигнал, чтобы скрыть шум квантования (см. Замечание ниже), который возникает из-за преобразования разрядности. В случае повышения разрядности стоит выбрать для этого параметра значение None. Если же вы собираетесь понизить разрядность, вам придется поэкспериментировать с этим параметром, чтобы выяснить, какое его значение работает лучше.

 Замечание 

Когда вы преобразуете аналоговый звуковой сигнал в цифровую форму, этот сигнал определяется с использованием конечного диапазона чисел. Чем ниже разрядность файла, тем меньшие числа выделяются для определения сигнала, что приводит к более высокому уровню шумов, В случае понижения разрядности этот процесс может привести к появлению так называемого шума квантования. Этот шум образуется из-за того, что числа, представляющие сигнал в файле с большей разрядностью, должны быть округлены до значений, соответствующих меньшей разрядности. Чтобы скрыть шум квантования, вы можете добавить в данные дополнительный шум. Может показаться странным, что для того чтобы понизить слышимые шумы, нужно добавить дополнительный шум, но он помогает смягчить, так сказать, "шероховатости" сигнала, характеризующие шум квантования.

4. Выберите значение параметра Noise shaping. Он позволяет переместить возможные шумы в область более высоких частот, которые менее доступны для человеческого слуха. Вам придется поэкспериментировать с этим параметром, чтобы найти наиболее подходящее для вашего файла значение.

Совет

Если частота сэмплирования вашего файла ниже 44 100 Гц, следует выбрать для параметра Noise shaping значение Off. Эта необходимость объясняется тем, что файлы с низкими частотами сэмплирования также характеризуются более низким частотным диапазоном. Использование параметра Noise shaping для подобных файлов может привести к увеличению уровня шума.